2016年度1学期 数学の楽しみ1D

担当：松本佳彦
matsumoto (at) math.sci.osaka-u.ac.jp
オフィスアワー：学期中の火曜14:00〜15:00（7/5と7/19は出張中のためいません！）

木曜3限（13:00〜14:30）・共通教育棟C棟305教室

授業日程（確定）：4/14, 4/21, 4/28, 5/12, 5/19, 5/26, 6/2, 6/9, 6/16, 6/23, 6/30, 7/7（休講）, 7/14, 7/21（休講）, 7/28
期末試験：8/4

シラバス

専門的な数学を学ぶ上での基礎体力にあたる「数学を論理的に扱う力」を身につけ、数学を「自力で学ぶ」ことができるようにするのがこの授業の目的です。具体的には、次のことを目標とします。

• 数学で用いられる論理（基本的な命題論理と述語論理）を身につける。
• 極限のイプシロン・デルタ法による定義や実数の完備性の取り扱いなど、微積分における厳密な論理の運用に慣れる。
• 数学に関する文章を読み書きする力を磨く。また、自分自身で疑問を見つけ、それを適切に表明できるようにする。

参考書

• 佐藤文広『数学ビギナーズマニュアル』（日本評論社、1994年）
• 和久井道久『大学数学ベーシックトレーニング』（日本評論社、2013年）
• 数学セミナー編集部『数学セミナー増刊　数学ガイダンス2016』（日本評論社、2016年）
• 松坂和夫『集合・位相入門』（岩波書店、1968年）
• 結城浩『数学文章作法　基礎編』（ちくま学芸文庫、2013年）、『数学文章作法　推敲編』（同、2014年）

内容・資料など

• 4月14日
• ガイダンス
• 第1回（数学の体系的記述について）
• 4月21日
• 第2回（数学書の読み方）
• なお、演習問題2.1の引用文において、補題6.10.1の証明の下から4行目「この2点の距離は$\sqrt{2}/2^{-i}$以下である」は、正しくは「この2点の距離は$\sqrt{2}/2^i$以下である」です（引用元のテキストも誤っています）。
• 4月28日
• 第3回（集合と写像の基本事項）
• プリントに書いてある「写像のグラフ」の話は飛ばしました。当面は知らなくて問題ありませんが、気になる人は、たとえば『大学数学ベーシックトレーニング』の170〜171ページを見てください。
• 演習問題の解答例
• 5月12日
• 冒頭の小テスト
• 第4回（数学における論理(1)——命題と論理記号）
• 授業で配布した資料では、論理和$p\vee q$の真理表に間違いがありました。ここにあるものは修正済みです。
• 演習問題の解答例
• 5月19日
• 冒頭の小テスト
• 第5回（数学における論理(2)——同値な命題，特に否定命題の同値変形）
• 演習問題の解答例
• 5月26日
• 冒頭の小テスト
• 第6回（数学における論理(3)——実践練習：Archimedesの原理とその応用）
• 「実数の整数部分の存在と一意性」（プリントの補題3）を授業で説明した際に、一意性の部分を証明するのを忘れました。各自で補っておいてください……ということにしてもよいのですが、補足のプリントを作りました。
• 演習問題の解答例
• 6月2日
• 冒頭の小テスト
• 第7回（数列の極限）
• 演習問題の解答例
• 6月9日
• 冒頭の小テスト
• 第8回（関数の連続性）
• 演習問題の解答例
• 6月16日
• 冒頭の小テスト
• 第9回（実数論(1)——実数の公理的定義、完備性のさまざまな表現）
• 演習問題の解答例（その1）
• 演習問題の解答例（その2）
• 6月23日
• 第10回（数学的な文章の書き方(1)——文について）
• プリントについて1点指摘がありました。2ページ目「改善例」の下から4行目において、$N$はそこに述べられた条件に加えて「$N_1$以上である」という条件を満たすようにとる必要があります。修正の一例として、たとえば、「$N\in\mathbb{N}$が存在する」の直前に「$N_1$以上の」を付け加えてください。
• 演習問題10.1は6月30日の授業で扱いました。
• 6月30日
• 第11回（数学的な文章の書き方(2)——段落について）
• 授業で「指数関数の構成」の議論の大部分を説明しましたが、その際の板書を1か所訂正します。補題4（構成した$f$が実際に連続であること）の証明中、「$a^{x_0}$」と書いた箇所がありました。それを「$f(x_0)$」に置き換えてください。$a^{x_0}$というのはまだ定義されていないからです（$x_0$は有理数とは限らないことに注意してください）。
• レポート課題を1題出しました。提出は7月14日の授業の冒頭です。詳しくはプリントを参照してください。
• 7月14日
• 第12回（実数論(2)——最大最小値の存在定理、実数の完備性の言い換えの証明について）
• 演習問題の解答例
• 7月28日
• 第13回（算術幾何平均とレムニスケート）
• 授業の内容に関するプリントはありません。算術幾何平均を実数の完備性の応用として定義し、標準的なレムニスケートの周長の半分と円周率の比が（正確には、比の値の逆数が）$\sqrt{2}$と$1$の算術幾何平均に等しいことについて説明しました。また、楕円関数の理論との関わりについてごく簡単に触れました。
• 1か所訂正します。講義中の補題4「$I(a,b)=I(a',b')$」の証明に用いる変数変換は、正しくは\[ \sin\phi=\frac{2a\sin\phi'}{(a+b)+(a-b)\sin^2\phi'} \]でした。板書では$\sin\phi'$と$\sin^2\phi'$を逆にしてしまっていたと思います。
• レポート課題についてのコメントと解答例
• 最後に行う$f$の連続性の証明は、6月30日の授業での説明とは少し違うやり方を採用してみました。
• 期末試験
• 8月4日（木）3限（13:00〜14:30）・共通教育棟C棟305教室（いつもの教室）
• 13:00が試験開始時刻です。5分前には着席していてください。
• 注意事項：
• ノート、プリント、資料等の参照は許可しません。
• 学生証が必要です。万一忘れてきた場合は、前もって教務係で仮受験票の交付を受けてください。
• 試験開始後20分以上の遅刻者は原則として受験できません。
• 期末試験の返却について
• 日時：8月5日（金）正午から8月31日（水）まで（8月12日〜16日は夏期休業です）
• 場所：全学教育推進機構教務係（全学教育管理・講義A棟2階）
• 学生証を持って受け取りに行ってください。この期間が終わっても受け取りがない答案は、松本が回収して保管します。その後に返却を希望する場合は、松本まで問い合わせてください。
• 授業アンケートはKOANを通じて行います。全学教育共通科目『履修の手引』61ページの回答要領を参照の上、8月31日（水）までに回答してください。