数学科2年次必修、生物科学科生命理学コース2年次選択
担当：松本佳彦 matsumoto (at) math.sci.osaka-u.ac.jp
オフィスアワー：学期中の火曜10:30–11:30（変更しました）、木曜15:00–16:00
担当TA：Lee Tim Weng、三口雄大、濱野銀次
「幾何学基礎1」（太田先生）に付随する演習科目です。現代数学の基礎的言語としての集合論を学び、さらに距離空間の概念を学びます。
火曜4限（14:40〜16:10）・理学部E310教室
授業日程：4/11, 4/18, 4/25, 5/9, 5/16, 5/23, 5/30, 6/6, 6/13（休講）, 6/20, 6/27, 7/4, 7/11, 7/18（休講）, 7/25
内容・資料など
- 4月11日
- 4月18日
- 4月25日
- 5月9日
- §4 全射，単射
- 問題4.Bへのコメント：「写像$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$が連続である」というのは、授業時間中にも補足したとおり、「$f$の値域（終域）を$\mathbb{R}$に取りかえて、通常の実数値関数と解釈すると、連続関数になっている」ということだと理解してください。同じことですが、「$i\colon\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$を包含写像とするとき、$i\circ f$が連続な実数値関数である」と言い表すこともできます。
- 問題4.3の訂正：(1)は、$A$が空集合でないという仮定のもとで同値性を証明してください。
- 5月16日
- §5 同値関係と商集合
- 問題5.1の訂正：この問題に登場する集合はすべて空集合でないと仮定してください。また、(1)の必要十分条件「$f(x)=f(y)\Rightarrow g(x)=g(y)$」は誤りで、正しくは「$g(x)=g(y)\Rightarrow f(x)=f(y)$」です。
- 問題5.3へのコメント：「外延的記法」とありますが、これは教科書3ページにある、集合を表す際に「属する元をすべて並べて書く方法」のことです。それと対になるのが「内包的記法」、すなわち「ある数学的にはっきりとした性質を満たす元全体の集まりとして記述する方法」です。
- 5月23日
- §5 必修問題の解説
- 問題2.1, 2.2, 3.1, 2.4の解答を発表してもらいました。時間不足で問題2.4について十分に扱えなかったので、この問題については解答者にレポートを作成してきてもらって、次回もう少しコメントしたいと思います。
- 5月30日
- §6 集合の濃度(1)
- 問題6.Bの意図について追加説明をします（授業で説明したのと同じこと）。
- (i)について：「どのような性質を満たす写像$\varphi$の存在をここで証明しているのか」「選択公理をどのように適用することにより証明できると言っているのか」を説明してください。
- (ii)について：ここでは「写像$f\colon\mathbb{N}\to X$を初期条件$f(1)=\varphi(\emptyset)$と漸化式$f(n+1)=\varphi(\{f(1),\dotsc,f(n)\})$によって定義する」ということが行われています。ところで、この方法で「$f$が定義された」と言えるのは、「これらの初期条件と漸化式を満たすような写像$f\colon\mathbb{N}\to X$が存在し、しかも一意的である」（★）からです。では（★）が正しい理由は何か。それを数学的帰納法を用いて説明してほしい、というものです。——簡単ではありません。精一杯考えてもらえばけっこうです。
- なお、そうして構成された写像$f\colon\mathbb{N}\to X$が単射であることについては、詳細な説明は求めません（今回は）。
- 次回は6月6日です。
- 6月20日
- 6月27日
- 7月4日
- §9 順序集合(2)
- 問題9.B (1)の3行目に「$X$の部分集合とする」とありますが、「$X$の真部分集合とする」に訂正します。また、条件($\star$)において「$x\le a$」とある箇所は「$x\lt a$」として考えてもかまいません（同値な条件になる）。
- 問題9.3では「$X$」と「$A$」が混在してしまっていますが、特に意図はありません。両方「$X$」にしてください。
- 7月11日
- 7月25日
解答の提出と返却に関するルール
必修問題
- 以下のいずれかの方法で提出してください。
- 出題された授業の終了時に、直接提出する
- 出題された授業の翌日17:00までに、数学科事務に提出する
- なお、授業を欠席した場合も上記2番目の方法による提出を認めますが、その際は松本の研究室のドアのところにある解答用紙を利用してください。
- 出題の次の授業で返却します。何らかの理由で受け取れなかった人は、個別に問い合わせること。
任意提出問題
- 授業の際に提出してください。出題以降、基本的にいつ提出してもかまいません（出題された日でもよい）。
- 一度提出してA以外の評価を受けた問題については、再提出を認めます。
- ただし、授業中に解答の発表が行われた問題については、それ以降の提出を認めません。
- A4用紙、片面のみ利用（なお、ルーズリーフは使用しないでください）。左上をホチキスで綴じること。表紙は不要。1枚目に、科目名、学籍番号、名前、提出日を記入する。
- 提出の次の授業で返却します。何らかの理由で受け取れなかった人は、個別に問い合わせること。