| kikuchi(@math.sci.osaka-u.ac.jp をつけてください) | |
| 研究分野 Research |
微分トポロジー Differential topology |
| キーワード Keywords |
4次元、多様体、微分構造 Four-dimensional, manifold, differential structure |
| URL | http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/ |
４次元微分多様体のトポロジーについて研究しており、特にホモロジー種数、微分同相群の交叉表現、分岐被覆などに興味を持っています。中でも最も興味を持っているホモロジー種数について、わかりやすく説明しましょう。４次元微分多様体 M のホモロジー種数とは、M の各２次元ホモロジー類 [x] に対し、[x]を代表する滑らかな曲面の最小種数 g を対応させる写像のことです。話を簡単にするため、M と [x] の次元をそれぞれ半分にして、２次元多様体であるトーラス ( ドーナツ面) T の１次元ホモロジー類 [y] について考えてみましょう。地球儀にならい、T に経線と緯線を描き、それらが代表するホモロジー類をそれぞれ [m]、[l] とすると、[y] = a[m] + b[l] と書けることがわかります (a、b は整数)。一方、[y] は有限個の二重交点のみを持つ円周のはめ込みで代表されることもわかります。そこで、[y] を代表するそのような円周のはめ込みのうち最小二重交点数 n はいくつか、という問題が自然な興味の対象になります。例えば、(a,b) = (1,0) または (0,1) のとき n = 0、(a,b) =(2,0) または (0,2) のとき n = 1、であることは容易に予想できると思います。実際、一般の a、b に対して最大公約数を d とすると n = d−1、であることがトポロジー的方法によって証明されます。話を Tと [y] から元の M と [x] に戻すと、最小二重交点数n に相当するようなものが最小種数 g ですが、トポロジー的方法だけでは研究はなかなか進みません。微分幾何的な方法、特に理論物理のゲージ理論を応用した方法が有力になることが少なくありません。難解にはなりますが、面白い問題です。それでも、何でも目で見るように理解しようというトポロジスト精神を忘れずに研究しています。
