| hara(@math.sci.osaka-u.ac.jp をつけてください) | |
| 研究分野 Research |
変換群と位相幾何学 Transformation groups and topology |
| キーワード Keywords |
群作用、同変写像、不動点、一致点 Group action, equivariant map, fixed point, coincidence point |
| URL | http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~hara/ |
私の専門は位相幾何学で、特に変換群論について研究をしています。変換群論の有名な定理の一つとしてボルスク-ウラムの定理があります。これはホモロジー群を最初に学ぶときに、応用として取りあげられることが多い定理ですので知っている人も多いと思いますが、n次元球面からn次元ユークリッド空間への連続写像について、球面の対心点、つまり中心に関して対称な2点で、写像の値が等しくなるようなものが存在するという定理です。地球上の真反対にあるような2点で温度も湿度も等しくなるような点が存在するというような応用が語られることもあります。ボルスク-ウラムの定理を証明するためには、位数2の群を球面に不動点を持たないように作用させたときに、群の作用を保つような球面間の連続写像（同変写像と呼ばれる）について、その写像度が奇数になるという、群の作用を考えたときの写像のホモトピーに関する定理を証明し、それを用いるのが一つの方法です。ボルスク-ウラムの定理の場合には球面と位数 2の群の作用というものを考えているわけですが、実際には、もっと別の多様体で別の群を作用させたときにも、このような群の作用を保つような連続写像のホモトピーに制限がつくことがあることがわかっています。私の現在の研究としては、このような現象をコホモロジー等を用いて考察したり、位相幾何学において出てくる他の位相不変量とどのように関係しているかを調べたりしています。
