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Rational Bezier1
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Mathematicaを用いた練習を行います。

Mathematica　は毎回使いますから、ＧＮＯＭＥパネルの
ランチャーに登録しておきましょう。
Mathematica は
「センターメニュー」-「アプリケーション」-「Mathematic数式処理」
にあります。


適当にプログラムの中の数字などを変更して試してみてください。

以下の説明の中で＊＊＊＊＊ではさまれた部分は
Mathematica　に入力する文字列です。自分で入力し
Shift+Enter(Return) キーで実行します。
上から順に，すべて実行するようにしてください。
上で定義した関数を後で利用すること 
があります。


ベジエ曲線を用いて、絵を描いてみましたが、
３点から定まるベジエ曲線は常に放物線でした。

では、円、楕円や双曲線を描くにはどうすればいいのでしょうか？
これを解決するために、重みの概念が考えられました。

重みを変化させるとどのように曲線が変化するかをみましょう。

 Mathematica から一度出ましょう。再び Mathematica  を立ち上げて下さい。


 ＊＊＊＊＊＊
Needs["Graphics`Colors`"]

Cn[s_] := n!/(s!*(n - s)!)
Bn[s_, u_] := Cn[s]*(u^s)*((1 - u)^(n - s))
AA[n_] := Sum[w[j]*b[j]*Bn[j, t], {j, 0, n}]/Sum[w[j]*Bn[j, t], {j, 0, n}]
L[n_] := Table[(1 - t)*b[i] + t*b[i + 1], {i, 0, n - 1}]

RatBezCurve2[a_, b_][pt_, color_] := 
  ParametricPlot[Evaluate[AA[n]], {t, a, b}, AspectRatio -> Automatic, 
    Axes -> True, PlotRange -> All, PlotStyle -> {Thickness[pt], color}]
B2Poly := 
  ParametricPlot[Evaluate[L[n]], {t, 0, 1}, AspectRatio -> Automatic, 
    Axes -> True, PlotStyle -> {Thickness[0.005]}]
RatBezPloy2[a_, b_] := Show[RatBezCurve2[a, b], B2Poly]
＊＊＊＊＊＊
 
 w[0], w[1], w[2]　が重みです。
まず放物線を描きましょう。
このときは、重みはどれも１です。
＊＊＊＊＊＊
n = 2
b[0] = {-1, 1}
b[1] = {0, -1}
b[2] = {1, 1}
w[0]=1
w[1]=1
w[2]=1
pa1=RatBezCurve2[-1/2, 3/2][ 0.005, Black]
＊＊＊＊＊＊

次に、重みを変えてみましょう。

＊＊＊＊＊＊
w[0] = 1
w[1] = 1
w[2] = 3
cir1 = RatBezCurve2[-1/2, 3/2][0.005, Red]
＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊＊＊
w[0] = 1
w[1] = 1
w[2] = 1/3
hyp1 = RatBezCurve2[-.35, 1.1][0.005, Blue]
＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊＊＊
Show[pa1, cir1, hyp1]
＊＊＊＊＊＊

別の３点をとってみましょう。
＊＊＊＊＊＊
n = 2
b[0] = {1, 0}
b[1] = {1, 1}
b[2] = {0, 1}
＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊＊＊
w[0] = 1
w[1] = 1
w[2] = 1
pa2 = RatBezCurve2[-1/2, 3/2][0.005, Black]


w[0] = 1
w[1] = 1
w[2] = 2
cir2 = RatBezCurve2[-1/2, 3/2][0.005, Red]

w[0] = 1
w[1] = 1
w[2] = 1/2
hyp2 = RatBezCurve2[-.2, 1.1][0.005, Blue]
＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊＊＊
Show[pa2, cir2, hyp2]
＊＊＊＊＊＊

４点以上をとって、重みをいろいろと変えて
どのように変化するかを確かめてみましょう。


デカルトの葉線をかいてみましょう。
＊＊＊＊＊＊
n = 3
b[0] = {0, 0}
b[1] = {1, 0} 
b[2] = {2, 1}
b[3] = {3/2, 3/2}
w[0] = 1
w[1] = 1
w[2] = 1
w[3] = 2
deca1 = RatBezCurve2[-1/2, 1][0.005, Red]
b[0] = {0, 0}
b[1] = {0, 1} 
b[2] = {1, 2}
b[3] = {3/2, 3/2}
w[0] = 1
w[1] = 1
w[2] = 1
w[3] = 2
deca2 = RatBezCurve2[-1/2, 1][0.005, Red]
Show[deca1, deca2]
＊＊＊＊＊＊