行列の計算例題（斉次形連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の斉次形連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}4 & 5 & {-}4 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & {-}4 & 3 & 0 & 2 \\ {-}4 & {-}6 & 4 & {-}5 & 0 & 2 \\ {-}3 & {-}4 & 4 & {-}4 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & {-}2\end{array}\right]\,x\,=\,0 \]

解答

係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}4 & 5 & {-}4 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & {-}4 & 3 & 0 & 2 \\ {-}4 & {-}6 & 4 & {-}5 & 0 & 2 \\ {-}3 & {-}4 & 4 & {-}4 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & {-}2\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & {-}1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & {-}2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}3/4 & {-}1 & {-}1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3\\\hline 主成分を含まない列 & 4&5&6\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 1 \\ {-}3/4\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 0 \\ {-}1\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}2 \\ {-}1/2\end{array}\end{array} \] 従って、解は \[ x=k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}4 \\ 4 \\ {-}3 \\ {-}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 0 \\ {-}1 \\ 0 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{@{}r@{}}4 \\ {-}4 \\ {-}1 \\ 0 \\ 0 \\ {-}2\end{array}\right] \]