行列の計算例題（斉次形連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の斉次形連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 1 & 2 & 2 & {-}2 \\ 4 & 1 & 2 & 0 & {-}2 \\ {-}4 & {-}1 & {-}2 & 0 & 2 \\ {-}3 & {-}1 & {-}2 & {-}1 & 2\end{array}\right)\,x\,=\,0 \]

解答

係数行列を簡約化する。\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 1 & 2 & 2 & {-}2 \\ 4 & 1 & 2 & 0 & {-}2 \\ {-}4 & {-}1 & {-}2 & 0 & 2 \\ {-}3 & {-}1 & {-}2 & {-}1 & 2\end{array}\right)\ \to\ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 4 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \] \[ \begin{array}{l|ccccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 4\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}2\end{array}\end{array} \] 従って、解は \[ x=k_0\left(\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 2 \\ {-}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 4 \\ 0 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}2 \\ 0 \\ 0 \\ {-}1\end{array}\right) \]