行列の計算例題（斉次形連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の斉次形連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}4 & 0 & 4 & 1 & {-}2 \\ 4 & 1 & 3 & 1 & {-}2 \\ 7 & 2 & 7 & 1 & {-}4 \\ 3 & 1 & 4 & 0 & {-}2 \\ 1 & 0 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right]\,x\,=\,0 \]

解答

係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}4 & 0 & 4 & 1 & {-}2 \\ 4 & 1 & 3 & 1 & {-}2 \\ 7 & 2 & 7 & 1 & {-}4 \\ 3 & 1 & 4 & 0 & {-}2 \\ 1 & 0 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 5/8 & {-}1/4 \\ 0 & 1 & 0 & {-}3/8 & {-}1/4 \\ 0 & 0 & 1 & {-}3/8 & {-}1/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|ccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3\\\hline 主成分を含まない列 & 4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}5/8 \\ {-}3/8 \\ {-}3/8\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1/4 \\ {-}1/4 \\ {-}1/4\end{array}\end{array} \] 従って、解は \[ x=k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}5 \\ {-}3 \\ {-}3 \\ {-}8 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}1 \\ {-}1 \\ 0 \\ {-}4\end{array}\right] \]