行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & 3 & 1 & {-}1 \\ 1 & 4 & 2 & 0 \\ {-}1 & {-}4 & {-}2 & 0 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ {-}1 & 2 & 0 & {-}2\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}7 \\ 5 \\ {-}5 \\ {-}7 \\ 9\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & 3 & 1 & {-}1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 & 0 & 5 \\ {-}1 & {-}4 & {-}2 & 0 & {-}5 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & 1 & {-}7 \\ {-}1 & 2 & 0 & {-}2 & 9\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 2/3 & 4/3 & {-}13/3 \\ 0 & 1 & 1/3 & {-}1/3 & 7/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}2/3 \\ 1/3\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}4/3 \\ {-}1/3\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}13/3 \\ 7/3\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}13/3 \\ 7/3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 1 \\ {-}3 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}4 \\ {-}1 \\ 0 \\ {-}3\end{array}\right] \]