行列の計算例題（連立一次方程式）

例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}36 & {-}12 & {-}15 & 5 & {-}5 & {-}20 \\ {-}13 & {-}26 & {-}10 & 20 & 15 & {-}5 \\ {-}58 & 4 & {-}10 & 20 & {-}15 & 0 \\ {-}45 & 10 & {-}5 & 5 & {-}20 & {-}5\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}43 \\ {-}49 \\ {-}144 \\ {-}80\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}36 & {-}12 & {-}15 & 5 & {-}5 & {-}20 & {-}43 \\ {-}13 & {-}26 & {-}10 & 20 & 15 & {-}5 & {-}49 \\ {-}58 & 4 & {-}10 & 20 & {-}15 & 0 & {-}144 \\ {-}45 & 10 & {-}5 & 5 & {-}20 & {-}5 & {-}80\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & {-}1/4 & 2/3 & {-}13/6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {-}1/2 & 1/3 & 5/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1 & {-}4\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3&4\\\hline 主成分を含まない列 & 5&6&7\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}1/2 \\ {-}1/4 \\ {-}1/2 \\ 1/2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}1/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \\ 1\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}2/3 \\ {-}13/6 \\ 5/3 \\ {-}4\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}2/3 \\ {-}13/6 \\ 5/3 \\ {-}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}1 \\ {-}2 \\ 2 \\ {-}4 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \\ {-}3\end{array}\right] \]