行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}13 & 9 & {-}8 & 12 & 16 \\ 15 & {-}1 & 16 & {-}4 & {-}16 \\ 3 & {-}1 & 0 & {-}4 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 & 8\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}63 \\ 15 \\ {-}21 \\ 18\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}13 & 9 & {-}8 & 12 & 16 & 63 \\ 15 & {-}1 & 16 & {-}4 & {-}16 & 15 \\ 3 & {-}1 & 0 & {-}4 & 0 & {-}21 \\ 2 & 6 & 0 & 0 & 8 & 18\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}6/5 & 2/5 & {-}27/5 \\ 0 & 1 & 0 & 2/5 & 6/5 & 24/5 \\ 0 & 0 & 1 & 9/10 & {-}13/10 & 63/10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|ccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3\\\hline 主成分を含まない列 & 4&5&6\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}6/5 \\ 2/5 \\ 9/10\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}2/5 \\ 6/5 \\ {-}13/10\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}27/5 \\ 24/5 \\ 63/10\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}27/5 \\ 24/5 \\ 63/10 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}12 \\ 4 \\ 9 \\ {-}10 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}4 \\ 12 \\ {-}13 \\ 0 \\ {-}10\end{array}\right] \]