行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & {-}2 & 2 & {-}4 & 3 \\ 0 & 2 & {-}1 & 3 & {-}2 \\ 2 & 0 & 2 & {-}6 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 & 1 \\ {-}1 & {-}1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}5 \\ 2 \\ 47 \\ 7 \\ {-}21\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & {-}2 & 2 & {-}4 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & {-}1 & 3 & {-}2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & {-}6 & 1 & 47 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 & 1 & 7 \\ {-}1 & {-}1 & 0 & 1 & 1 & {-}21\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}2 & {-}1/2 & 33/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & {-}1/2 & 9/2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|ccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3\\\hline 主成分を含まない列 & 4&5&6\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 1 \\ {-}1\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1/2 \\ {-}1/2 \\ 1\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}33/2 \\ 9/2 \\ 7\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}33/2 \\ 9/2 \\ 7 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 1 \\ {-}1 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}1 \\ 2 \\ 0 \\ {-}2\end{array}\right] \]