行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}3 & 0 & {-}6 & {-}1 \\ 1 & {-}1 & {-}6 & {-}3 \\ {-}1 & {-}1 & {-}2 & 0 \\ {-}6 & {-}4 & {-}4 & {-}2 \\ {-}5 & {-}2 & 2 & 3\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}9 \\ {-}11 \\ {-}12 \\ {-}34 \\ {-}21\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}3 & 0 & {-}6 & {-}1 & {-}9 \\ 1 & {-}1 & {-}6 & {-}3 & {-}11 \\ {-}1 & {-}1 & {-}2 & 0 & {-}12 \\ {-}6 & {-}4 & {-}4 & {-}2 & {-}34 \\ {-}5 & {-}2 & 2 & 3 & {-}21\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & {-}2 & 0 & {-}4 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {-}3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccc} 主成分を含む列 & 1&2&4\\\hline 主成分を含まない列 & 3&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 4 \\ 0\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}4 \\ 16 \\ {-}3\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}4 \\ 16 \\ 0 \\ {-}3\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 4 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right] \]