行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}4 & 2 & 3 & 1 \\ 54 & {-}1 & 9 & {-}4 \\ 14 & {-}5 & {-}3 & {-}4 \\ {-}28 & 2 & {-}3 & 3\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}29 \\ 255 \\ 43 \\ {-}125\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}4 & 2 & 3 & 1 & 29 \\ 54 & {-}1 & 9 & {-}4 & 255 \\ 14 & {-}5 & {-}3 & {-}4 & 43 \\ {-}28 & 2 & {-}3 & 3 & {-}125\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 3/16 & {-}1/16 & 77/16 \\ 0 & 1 & 9/8 & 5/8 & 39/8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}3/16 \\ 9/8\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1/16 \\ 5/8\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}77/16 \\ 39/8\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}77/16 \\ 39/8 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ 18 \\ {-}16 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 10 \\ 0 \\ {-}16\end{array}\right] \]