行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & {-}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 2 & {-}2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}2 & 2 \\ {-}2 & 1 & {-}2 & 0 & 0 \\ {-}2 & 4 & {-}1 & 2 & {-}2\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}3 \\ {-}51 \\ 48 \\ 3 \\ {-}45\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & {-}1 & 2 & 0 & 0 & {-}3 \\ 2 & 2 & 3 & 2 & {-}2 & {-}51 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}2 & 2 & 48 \\ {-}2 & 1 & {-}2 & 0 & 0 & 3 \\ {-}2 & 4 & {-}1 & 2 & {-}2 & {-}45\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 7/6 & 1/3 & {-}1/3 & {-}19/2 \\ 0 & 1 & 1/3 & 2/3 & {-}2/3 & {-}16 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|ccccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5&6\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}7/6 \\ 1/3\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}1/3 \\ 2/3\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1/3 \\ {-}2/3\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}19/2 \\ {-}16\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}19/2 \\ {-}16 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}7 \\ 2 \\ {-}6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 2 \\ 0 \\ {-}3 \\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}2 \\ 0 \\ 0 \\ {-}3\end{array}\right] \]