行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & {-}1 & 2 & 3 \\ {-}2 & 2 & {-}1 & {-}2 \\ {-}3 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & {-}3 & {-}4\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}41 \\ 53 \\ 12 \\ 29\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & {-}1 & 2 & 3 & {-}41 \\ {-}2 & 2 & {-}1 & {-}2 & 53 \\ {-}3 & 1 & 1 & 1 & 12 \\ 4 & 0 & {-}3 & {-}4 & 29\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & {-}3/4 & {-}1 & 29/4 \\ 0 & 1 & {-}5/4 & {-}2 & 135/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}3/4 \\ {-}5/4\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}29/4 \\ 135/4\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}29/4 \\ 135/4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}3 \\ {-}5 \\ {-}4 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}2 \\ 0 \\ {-}1\end{array}\right] \]