行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}57 & {-}23 & {-}28 & {-}2 & 21 \\ 21 & {-}21 & {-}28 & 0 & 7 \\ 68 & {-}24 & {-}28 & 4 & 28 \\ {-}27 & {-}13 & {-}21 & {-}4 & {-}14 \\ 56 & {-}13 & {-}14 & {-}3 & 21\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}274 \\ 140 \\ 292 \\ {-}32 \\ 241\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}57 & {-}23 & {-}28 & {-}2 & 21 & 274 \\ 21 & {-}21 & {-}28 & 0 & 7 & 140 \\ 68 & {-}24 & {-}28 & 4 & 28 & 292 \\ {-}27 & {-}13 & {-}21 & {-}4 & {-}14 & {-}32 \\ 56 & {-}13 & {-}14 & {-}3 & 21 & 241\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & {-}17 & {-}7 & 59 \\ 0 & 0 & 1 & 12 & 5 & {-}44 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|ccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3\\\hline 主成分を含まない列 & 4&5&6\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}17 \\ 12\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}7 \\ 5\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}7 \\ 59 \\ {-}44\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}7 \\ 59 \\ {-}44 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}17 \\ 12 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}7 \\ 5 \\ 0 \\ {-}1\end{array}\right] \]