行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & {-}2 & {-}3 & 3 & 1 \\ 0 & {-}1 & {-}2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & {-}1 & 0 \\ {-}2 & {-}1 & 1 & 0 & {-}1 \\ 1 & 1 & 3 & {-}2 & {-}2\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}5 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ {-}4\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & {-}2 & {-}3 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & {-}1 & {-}2 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & {-}1 & 0 & 2 \\ {-}2 & {-}1 & 1 & 0 & {-}1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & {-}2 & {-}2 & {-}4\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & {-}1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {-}3/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {-}3/2 & 7/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|ccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3&4\\\hline 主成分を含まない列 & 5&6\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}1/2 \\ {-}3/2 \\ {-}3/2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 5/2 \\ 1/2 \\ 7/2\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 5/2 \\ 1/2 \\ 7/2 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}1 \\ {-}3 \\ {-}3 \\ {-}2\end{array}\right] \]