行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & {-}1 \\ {-}1 & 2 & {-}2 & 1 \\ 1 & {-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & 1 & {-}1 & 0\end{array}\right)\,x\,=\,\left(\begin{array}{@{}r@{}}{-}7 \\ 7 \\ 9 \\ {-}1 \\ 8\end{array}\right) \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 0 & 0 & 1 & {-}7 \\ 1 & 0 & 0 & {-}1 & 7 \\ {-}1 & 2 & {-}2 & 1 & 9 \\ 1 & {-}1 & 1 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 1 & {-}1 & 0 & 8\end{array}\right)\ \to\ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 7 \\ 0 & 1 & {-}1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \] \[ \begin{array}{l|cccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}1\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 0\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}7 \\ 8\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left(\begin{array}{@{}r@{}}7 \\ 8 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+k_0\left(\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}1 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 0 \\ 0 \\ {-}1\end{array}\right) \]