行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}2 & 1 & 1 & {-}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}2 & {-}2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & {-}1 & {-}1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}2 & 2 & {-}2\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}7 \\ 38 \\ 54 \\ {-}7\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}2 & 1 & 1 & {-}1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & {-}2 & {-}2 & 2 & 1 & 38 \\ 2 & 2 & {-}1 & {-}1 & 2 & 2 & 54 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}2 & 2 & {-}2 & {-}7\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & 5/16 & {-}3/4 & {-}59/16 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/4 & 2 & 113/4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/4 & {-}1 & {-}67/4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {-}9/8 & 3/2 & 95/8\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3&4\\\hline 主成分を含まない列 & 5&6&7\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}5/16 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ {-}9/8\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}3/4 \\ 2 \\ {-}1 \\ 3/2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}59/16 \\ 113/4 \\ {-}67/4 \\ 95/8\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}59/16 \\ 113/4 \\ {-}67/4 \\ 95/8 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}5 \\ 4 \\ 4 \\ {-}18 \\ {-}16 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}3 \\ 8 \\ {-}4 \\ 6 \\ 0 \\ {-}4\end{array}\right] \]