行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}18 & 31 & 8 & 4 \\ {-}8 & {-}14 & {-}12 & 4 \\ {-}24 & 8 & {-}8 & 8 \\ 64 & {-}88 & {-}16 & {-}16 \\ {-}50 & 25 & {-}12 & 16\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}148 \\ {-}12 \\ 104 \\ {-}464 \\ 240\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}18 & 31 & 8 & 4 & 148 \\ {-}8 & {-}14 & {-}12 & 4 & {-}12 \\ {-}24 & 8 & {-}8 & 8 & 104 \\ 64 & {-}88 & {-}16 & {-}16 & {-}464 \\ {-}50 & 25 & {-}12 & 16 & 240\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 13/25 & {-}9/25 & {-}17/5 \\ 0 & 1 & 14/25 & {-}2/25 & 14/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}13/25 \\ 14/25\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}9/25 \\ {-}2/25\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}17/5 \\ 14/5\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}17/5 \\ 14/5 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}13 \\ 14 \\ {-}25 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}9 \\ {-}2 \\ 0 \\ {-}25\end{array}\right] \]