行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 3 & {-}1 & 4 & 3 \\ {-}1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & {-}1\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}18 \\ {-}26 \\ 4 \\ {-}22 \\ {-}18\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & 1 & 18 \\ 3 & {-}1 & 4 & 3 & {-}26 \\ {-}1 & 1 & {-}2 & {-}2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 1 & {-}22 \\ 1 & 1 & 0 & {-}1 & {-}18\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 1 & 1/2 & {-}11 \\ 0 & 1 & {-}1 & {-}3/2 & {-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}1\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}1/2 \\ {-}3/2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}11 \\ {-}7\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}11 \\ {-}7 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}1 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}3 \\ 0 \\ {-}2\end{array}\right] \]