行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & {-}3 & 0 & {-}2 & {-}1 & 0 \\ {-}2 & 3 & 2 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & {-}2 & 0 & {-}1 & 1 & {-}1 \\ {-}1 & {-}2 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}4 \\ 1 \\ {-}11 \\ {-}5 \\ 8\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 0 & {-}4 \\ 0 & {-}3 & 0 & {-}2 & {-}1 & 0 & 1 \\ {-}2 & 3 & 2 & 4 & 3 & 0 & {-}11 \\ 1 & {-}2 & 0 & {-}1 & 1 & {-}1 & {-}5 \\ {-}1 & {-}2 & 2 & 0 & 0 & 1 & 8\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & 2/3 & {-}1/3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & {-}5/3 & 4/3 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {-}4/3 & 5/3 & 20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & {-}2 & {-}23 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3&4\\\hline 主成分を含まない列 & 5&6&7\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}2/3 \\ {-}5/3 \\ {-}4/3 \\ 3\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1/3 \\ 4/3 \\ 5/3 \\ {-}2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 15 \\ 20 \\ {-}23\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 15 \\ 20 \\ {-}23 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}5 \\ {-}4 \\ 9 \\ {-}3 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 4 \\ 5 \\ {-}6 \\ 0 \\ {-}3\end{array}\right] \]