行列の計算例題（連立一次方程式）

例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}368 & 141 & {-}713 & 46 & 186 & {-}124 \\ 58 & {-}48 & 124 & 16 & 0 & 62 \\ {-}284 & 126 & {-}558 & 20 & 124 & {-}124 \\ 197 & {-}54 & 372 & {-}44 & {-}124 & 31\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1272 \\ 156 \\ {-}952 \\ 718\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}368 & 141 & {-}713 & 46 & 186 & {-}124 & {-}1272 \\ 58 & {-}48 & 124 & 16 & 0 & 62 & 156 \\ {-}284 & 126 & {-}558 & 20 & 124 & {-}124 & {-}952 \\ 197 & {-}54 & 372 & {-}44 & {-}124 & 31 & 718\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 30/17 & {-}8/17 & {-}16/17 & {-}5/17 & 70/17 \\ 0 & 1 & {-}23/51 & {-}46/51 & {-}58/51 & {-}28/17 & 88/51 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5&6&7\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}30/17 \\ {-}23/51\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}8/17 \\ {-}46/51\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}16/17 \\ {-}58/51\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}5/17 \\ {-}28/17\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}70/17 \\ 88/51\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}70/17 \\ 88/51 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}90 \\ {-}23 \\ {-}51 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}24 \\ {-}46 \\ 0 \\ {-}51 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}48 \\ {-}58 \\ 0 \\ 0 \\ {-}51 \\ 0\end{array}\right]+k_3\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}5 \\ {-}28 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ {-}17\end{array}\right] \]