行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}12 & {-}34 & {-}31 & {-}17 & 34 & 34 \\ 66 & 85 & 94 & 68 & {-}34 & {-}136 \\ 80 & 34 & 48 & {-}34 & 34 & {-}102 \\ {-}40 & 68 & 44 & 68 & {-}136 & 0\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}145 \\ 58 \\ {-}586 \\ 956\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}12 & {-}34 & {-}31 & {-}17 & 34 & 34 & {-}145 \\ 66 & 85 & 94 & 68 & {-}34 & {-}136 & 58 \\ 80 & 34 & 48 & {-}34 & 34 & {-}102 & {-}586 \\ {-}40 & 68 & 44 & 68 & {-}136 & 0 & 956\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 & {-}27/2 \\ 0 & 1 & 0 & {-}5 & {-}3 & 1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 2 & {-}2 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3\\\hline 主成分を含まない列 & 4&5&6&7\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}5/2 \\ {-}5 \\ 7\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}1/2 \\ {-}3 \\ 2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}1/2 \\ 1 \\ {-}2\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}27/2 \\ {-}1 \\ 11\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}27/2 \\ {-}1 \\ 11 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}5 \\ {-}10 \\ 14 \\ {-}2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}6 \\ 4 \\ 0 \\ {-}2 \\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 2 \\ {-}4 \\ 0 \\ 0 \\ {-}2\end{array}\right] \]