行列の計算例題（連立一次方程式）

　　　　　　　　　　


例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}5 & {-}4 & 0 & {-}4 & 1 & 5 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 & 0 & {-}1 \\ 3 & 0 & {-}1 & {-}1 & 2 & 4 \\ {-}2 & 4 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}9 \\ 8 \\ {-}11 \\ {-}2\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}5 & {-}4 & 0 & {-}4 & 1 & 5 & {-}9 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 & 0 & {-}1 & 8 \\ 3 & 0 & {-}1 & {-}1 & 2 & 4 & {-}11 \\ {-}2 & 4 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1 & {-}2\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}4/5 & 1/5 & 9/5 & {-}41/5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & {-}8 \\ 0 & 0 & 1 & {-}7/5 & {-}7/5 & 7/5 & {-}68/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2&3\\\hline 主成分を含まない列 & 4&5&6&7\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}4/5 \\ 0 \\ {-}7/5\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}1/5 \\ 0 \\ {-}7/5\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}9/5 \\ 1 \\ 7/5\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}41/5 \\ {-}8 \\ {-}68/5\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}41/5 \\ {-}8 \\ {-}68/5 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}4 \\ 0 \\ {-}7 \\ {-}5 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 0 \\ {-}7 \\ 0 \\ {-}5 \\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{@{}r@{}}9 \\ 5 \\ 7 \\ 0 \\ 0 \\ {-}5\end{array}\right] \]