行列の計算例題（連立一次方程式）

例題：次の連立一次方程式の解を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1566 & {-}252 & 1944 & {-}1080 & 36 & 18 \\ {-}1011 & 166 & {-}1292 & 700 & {-}18 & 27 \\ {-}57 & 10 & {-}80 & 40 & 0 & 9 \\ 612 & {-}96 & 732 & {-}420 & 18 & 36\end{array}\right]\,x\,=\,\left[\begin{array}{@{}r@{}}11736 \\ {-}7812 \\ {-}486 \\ 4410\end{array}\right] \]

解答

拡大係数行列を簡約化する。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1566 & {-}252 & 1944 & {-}1080 & 36 & 18 & 11736 \\ {-}1011 & 166 & {-}1292 & 700 & {-}18 & 27 & {-}7812 \\ {-}57 & 10 & {-}80 & 40 & 0 & 9 & {-}486 \\ 612 & {-}96 & 732 & {-}420 & 18 & 36 & 4410\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & {-}5/9 & {-}5/9 & 5/18 & 17/9 & {-}71/18 \\ 0 & 1 & {-}67/6 & 5/6 & 19/12 & 35/3 & {-}853/12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \[ \begin{array}{l|cccccc} 主成分を含む列 & 1&2\\\hline 主成分を含まない列 & 3&4&5&6&7\\\hline 主成分以外の成分 & \begin{array}{@{}r@{}}{-}5/9 \\ {-}67/6\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}5/9 \\ 5/6\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}5/18 \\ 19/12\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}17/9 \\ 35/3\end{array}&\begin{array}{@{}r@{}}{-}71/18 \\ {-}853/12\end{array}\end{array} \] 最後の列から特殊解が、その他の主成分を含まない列から斉次解（値ベクトルを零ベクトルにした斉次形連立一次方程式の解）が得られ、解はそれらの和で表される。従って \[ x=\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}71/18 \\ {-}853/12 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_0\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}10 \\ {-}201 \\ {-}18 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}10 \\ 15 \\ 0 \\ {-}18 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{@{}r@{}}10 \\ 57 \\ 0 \\ 0 \\ {-}36 \\ 0\end{array}\right]+k_3\left[\begin{array}{@{}r@{}}17 \\ 105 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ {-}9\end{array}\right] \]