行列の計算例題（基底）

　　　　　　　　　　


例題：次のベクトルの組で生成された部分空間の次元を求め、基底を与えよ。

\[ \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ {-}1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}1 \\ 1 \\ 4 \\ 0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}2 \\ {-}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 0 \\ {-}1 \\ {-}2 \\ {-}1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}4 \\ {-}2 \\ 0 \\ 4 \\ 1\end{array}\right] \bigg\rangle \]

解答

ベクトルを並べた行列を簡約化し、主成分を含む列に対応するベクトルの組みを選べばよい。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 0 & 3 & 3 & {-}1 & 4 \\ 1 & 0 & {-}1 & {-}2 & 0 & {-}2 \\ 1 & 1 & 1 & {-}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 2 & {-}2 & 4 \\ {-}1 & 0 & 0 & 1 & {-}1 & 1\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & 4 & {-}1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {-}2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] 主成分を含む列は、第1列, 第2列, 第3列, 第4列だから、基底は \[ \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ {-}1\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}1 \\ 1 \\ 4 \\ 0\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}2 \\ {-}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] \] である。