行列の計算例題（基底）

　　　　　　　　　　


例題：次のベクトルの組で生成された部分空間の次元を求め、基底を与えよ。

\[ \bigg\langle \left(\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 2 \\ 1 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}2 \\ {-}2 \\ 0 \\ {-}2\end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 0 \\ {-}1 \\ {-}1 \\ {-}2\end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}1 \\ {-}2 \\ {-}1 \\ {-}3\end{array}\right) \bigg\rangle \]

解答

ベクトルを並べた行列を簡約化し、主成分を含む列に対応するベクトルの組みを選べばよい。\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & {-}2 & 0 & {-}1 \\ 1 & {-}2 & {-}1 & {-}2 \\ {-}1 & 0 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & {-}2 & {-}2 & {-}3\end{array}\right)\ \to\ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \] 主成分を含む列は、第1列, 第2列だから、基底は \[ \left(\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 2 \\ 1 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right),\qquad \left(\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}2 \\ {-}2 \\ 0 \\ {-}2\end{array}\right) \] である。