行列の計算例題（基底）

　　　　　　　　　　


例題：次のベクトルの組で生成された部分空間の次元を求め、基底を与えよ。

\[ \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}1 \\ {-}2 \\ {-}3 \\ {-}2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}8 \\ {-}1 \\ 5 \\ 3\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 0 \\ {-}3 \\ 0 \\ {-}2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 4 \\ {-}5 \\ {-}4 \\ {-}6\end{array}\right] \bigg\rangle \]

解答

ベクトルを並べた行列を簡約化し、主成分を含む列に対応するベクトルの組みを選べばよい。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & {-}1 & {-}1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & {-}1 & {-}8 & 0 & 0 & 4 \\ 2 & {-}2 & {-}1 & 1 & {-}3 & {-}5 \\ 1 & {-}3 & 5 & 4 & 0 & {-}4 \\ 2 & {-}2 & 3 & 2 & {-}2 & {-}6\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & {-}4/11 & {-}12/11 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 28/11 & 40/11 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {-}4/11 & {-}12/11 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 27/11 & 37/11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] 主成分を含む列は、第1列, 第2列, 第3列, 第4列だから、基底は \[ \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}1 \\ {-}2 \\ {-}3 \\ {-}2\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}8 \\ {-}1 \\ 5 \\ 3\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \\ 2\end{array}\right] \] である。