行列の計算例題（基底）

　　　　　　　　　　


例題：次のベクトルの組で生成された部分空間の次元を求め、基底を与えよ。

\[ \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 1 \\ {-}1 \\ 1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 3 \\ 2 \\ {-}2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}5 \\ {-}4 \\ 4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 2 \\ 1 \\ {-}1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 3 \\ 3 \\ {-}3\end{array}\right] \bigg\rangle \]

解答

ベクトルを並べた行列を簡約化し、主成分を含む列に対応するベクトルの組みを選べばよい。\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}2 & {-}1 & 1 & {-}1 & 0 \\ 1 & 3 & {-}5 & 2 & 3 \\ {-}1 & 2 & {-}4 & 1 & 3 \\ 1 & {-}2 & 4 & {-}1 & {-}3\end{array}\right]\ \to\ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 2/5 & 1/5 & {-}3/5 \\ 0 & 1 & {-}9/5 & 3/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] 主成分を含む列は、第1列, 第2列だから、基底は \[ \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 1 \\ {-}1 \\ 1\end{array}\right],\qquad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ 3 \\ 2 \\ {-}2\end{array}\right] \] である。