行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}3 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ {-}2 & 4 & {-}2 & 0\end{array}\right) \]

解答

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}3 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ {-}2 & 4 & {-}2 & 0\end{array}\right) \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零最小元を探す

II : 第1列と第2列を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}3 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ {-}2 & 4 & {-}2 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}1 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & {-}2 & {-}2 & 0\end{array}\right) \]

I : (1,1) 成分の符号を正にする
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}1 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & {-}2 & {-}2 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}3 & {-}1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & {-}2 & {-}2 & 0\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,3,1,4] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}3 & {-}1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & {-}2 & {-}2 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}3 & {-}1 & 0 \\ 0 & 9 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 0\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,{-}3,{-}1,0] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}3 & {-}1 & 0 \\ 0 & 9 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 0\end{array}\right) \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零最小元を探す

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 3 & 0\end{array}\right) \]

II : 第2列と第3列を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 3 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 9 & 0\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,1,1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 9 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & {-}7 & 0 \\ 0 & 1 & {-}1 & 0\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,5,0] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & {-}7 & 0 \\ 0 & 1 & {-}1 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}12 & 0 \\ 0 & 1 & {-}6 & 0\end{array}\right) \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [1, 1] : 1 行 [0, 0]
2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}12 & 0 \\ 0 & 1 & {-}6 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}12 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}6 & 0\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,2,1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}12 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}6 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}12 & 0 \\ 0 & 0 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}12,0] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}12 & 0 \\ 0 & 0 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0\end{array}\right) \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 24 & 0\end{array}\right) \]

III : (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,4] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 24 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零最小元を探す

第4行、第4列以下、すべての成分が０なので、計算手続きを終了する

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \]