行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}4 & 0 & {-}4 & 0 \\ 5 & 9 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & {-}1 & 0 & 2\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & 0 & {-}4 & 0 \\ 5 & 9 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & {-}1 & 0 & 2\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & 0 & {-}4 & 0 \\ 5 & 9 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & {-}1 & 0 & 2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}1 & 0 & 2 \\ 5 & 9 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & {-}4 & 0\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,5,0,4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}1 & 0 & 2 \\ 5 & 9 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & {-}4 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}1 & 0 & 2 \\ 0 & 14 & 4 & {-}10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}1 & 0 & 2 \\ 0 & 14 & 4 & {-}10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & 4 & {-}10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & 4 & {-}10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & 4 & {-}10\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & 4 & {-}10\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 16 & 14\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}1,{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & {-}4 & {-}8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 16 & 14\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 18 & 18\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 2] : 1 行 [0, 0]
2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 18 & 18\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 18 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 18 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 18 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}36 & {-}36\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,9,9] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 18 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}36 & {-}36\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}36 & {-}36\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}36 & {-}36\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}36 & {-}36 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

I : (3,3) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}36 & {-}36 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

第4行、第4列以下、すべての成分が０なので、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]