行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}15 & 8 & {-}7 & 7 \\ 21 & 11 & {-}11 & 12 \\ 13 & 7 & {-}4 & 7 \\ {-}19 & {-}10 & 11 & {-}9\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}15 & 8 & {-}7 & 7 \\ 21 & 11 & {-}11 & 12 \\ 13 & 7 & {-}4 & 7 \\ {-}19 & {-}10 & 11 & {-}9\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}15 & 8 & {-}7 & 7 \\ 21 & 11 & {-}11 & 12 \\ 13 & 7 & {-}4 & 7 \\ {-}19 & {-}10 & 11 & {-}9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}13 & 7 & {-}4 & 7 \\ 21 & 11 & {-}11 & 12 \\ 15 & 8 & {-}7 & 7 \\ {-}19 & {-}10 & 11 & {-}9\end{array}\right] \]

II : 第1列と第3列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}13 & 7 & {-}4 & 7 \\ 21 & 11 & {-}11 & 12 \\ 15 & 8 & {-}7 & 7 \\ {-}19 & {-}10 & 11 & {-}9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}4 & 7 & 13 & 7 \\ {-}11 & 11 & 21 & 12 \\ {-}7 & 8 & 15 & 7 \\ 11 & {-}10 & {-}19 & {-}9\end{array}\right] \]

I : (1,1) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}4 & 7 & 13 & 7 \\ {-}11 & 11 & 21 & 12 \\ {-}7 & 8 & 15 & 7 \\ 11 & {-}10 & {-}19 & {-}9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & {-}7 & {-}13 & {-}7 \\ {-}11 & 11 & 21 & 12 \\ {-}7 & 8 & 15 & 7 \\ 11 & {-}10 & {-}19 & {-}9\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}3,{-}2,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & {-}7 & {-}13 & {-}7 \\ {-}11 & 11 & 21 & 12 \\ {-}7 & 8 & 15 & 7 \\ 11 & {-}10 & {-}19 & {-}9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & {-}7 & {-}13 & {-}7 \\ 1 & {-}10 & {-}18 & {-}9 \\ 1 & {-}6 & {-}11 & {-}7 \\ 3 & 4 & 7 & 5\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,{-}2,{-}4,{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & {-}7 & {-}13 & {-}7 \\ 1 & {-}10 & {-}18 & {-}9 \\ 1 & {-}6 & {-}11 & {-}7 \\ 3 & 4 & 7 & 5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & {-}8 & {-}14 & {-}7 \\ 1 & {-}4 & {-}7 & {-}5 \\ 3 & 10 & 19 & 11\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [1, 1, 3] : 0 行 [1, 3, 1]
1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}4 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & {-}8 & {-}14 & {-}7 \\ 1 & {-}4 & {-}7 & {-}5 \\ 3 & 10 & 19 & 11\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}8 & {-}14 & {-}7 \\ 4 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & {-}4 & {-}7 & {-}5 \\ 3 & 10 & 19 & 11\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,4,1,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}8 & {-}14 & {-}7 \\ 4 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & {-}4 & {-}7 & {-}5 \\ 3 & 10 & 19 & 11\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}8 & {-}14 & {-}7 \\ 0 & 33 & 59 & 29 \\ 0 & 4 & 7 & 2 \\ 0 & 34 & 61 & 32\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,{-}8,{-}14,{-}7] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}8 & {-}14 & {-}7 \\ 0 & 33 & 59 & 29 \\ 0 & 4 & 7 & 2 \\ 0 & 34 & 61 & 32\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 33 & 59 & 29 \\ 0 & 4 & 7 & 2 \\ 0 & 34 & 61 & 32\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 33 & 59 & 29 \\ 0 & 4 & 7 & 2 \\ 0 & 34 & 61 & 32\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 7 & 2 \\ 0 & 33 & 59 & 29 \\ 0 & 34 & 61 & 32\end{array}\right] \]

II : 第2列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 7 & 2 \\ 0 & 33 & 59 & 29 \\ 0 & 34 & 61 & 32\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & 4 \\ 0 & 29 & 59 & 33 \\ 0 & 32 & 61 & 34\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,14,16] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & 4 \\ 0 & 29 & 59 & 33 \\ 0 & 32 & 61 & 34\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & 4 \\ 0 & 1 & {-}39 & {-}23 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,3,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & 4 \\ 0 & 1 & {-}39 & {-}23 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & {-}42 & {-}25 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [1, 0] : 1 行 [1, 0]
2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & {-}42 & {-}25 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}42 & {-}25 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}42 & {-}25 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}42 & {-}25 \\ 0 & 0 & 85 & 50 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}42,{-}25] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}42 & {-}25 \\ 0 & 0 & 85 & 50 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 85 & 50 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 85 & 50 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30 \\ 0 & 0 & 85 & 50\end{array}\right] \]

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}51 & {-}30 \\ 0 & 0 & 85 & 50\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}30 & {-}51 \\ 0 & 0 & 50 & 85\end{array}\right] \]

I : (3,3) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}30 & {-}51 \\ 0 & 0 & 50 & 85\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 51 \\ 0 & 0 & 50 & 85\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 51 \\ 0 & 0 & 50 & 85\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 51 \\ 0 & 0 & 20 & 34\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 51 \\ 0 & 0 & 20 & 34\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 21 \\ 0 & 0 & 20 & 14\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [20] : 2 行 [21]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 21 \\ 0 & 0 & 20 & 14\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20 & 14 \\ 0 & 0 & 30 & 21\end{array}\right] \]

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20 & 14 \\ 0 & 0 & 30 & 21\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 20 \\ 0 & 0 & 21 & 30\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 20 \\ 0 & 0 & 21 & 30\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 20 \\ 0 & 0 & 7 & 10\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 20 \\ 0 & 0 & 7 & 10\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 3\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [7] : 2 行 [6]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 14 & 6\end{array}\right] \]

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 14 & 6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 6 & 14\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 6 & 14\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [1]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

第4行、第4列以下、すべての成分が０なので、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]