行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}7 & {-}1 & 5 & {-}4 \\ {-}5 & t{-}1 & 4 & {-}3 \\ {-}2 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 10 & 3 & {-}8 & t{+}6\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}7 & {-}1 & 5 & {-}4 \\ {-}5 & t{-}1 & 4 & {-}3 \\ {-}2 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 10 & 3 & {-}8 & t{+}6\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1列と第2列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}7 & {-}1 & 5 & {-}4 \\ {-}5 & t{-}1 & 4 & {-}3 \\ {-}2 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 10 & 3 & {-}8 & t{+}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}7 & 5 & {-}4 \\ t{-}1 & {-}5 & 4 & {-}3 \\ 1 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ 3 & 10 & {-}8 & t{+}6\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1{-}t,{-}1,{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}7 & 5 & {-}4 \\ t{-}1 & {-}5 & 4 & {-}3 \\ 1 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ 3 & 10 & {-}8 & t{+}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}7 & 5 & {-}4 \\ 0 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 & 5t{-}1 & 1{-}4t \\ 0 & t{-}9 & t{+}6 & {-}5 \\ 0 & 3t{-}11 & 7 & t{-}6\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,7{-}t,{-}5,4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}7 & 5 & {-}4 \\ 0 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 & 5t{-}1 & 1{-}4t \\ 0 & t{-}9 & t{+}6 & {-}5 \\ 0 & 3t{-}11 & 7 & t{-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 & 5t{-}1 & 1{-}4t \\ 0 & t{-}9 & t{+}6 & {-}5 \\ 0 & 3t{-}11 & 7 & t{-}6\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 & 5t{-}1 & 1{-}4t \\ 0 & t{-}9 & t{+}6 & {-}5 \\ 0 & 3t{-}11 & 7 & t{-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}9 & t{+}6 & {-}5 \\ 0 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 & 5t{-}1 & 1{-}4t \\ 0 & 3t{-}11 & 7 & t{-}6\end{array}\right] \]

II : 第2列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}9 & t{+}6 & {-}5 \\ 0 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 & 5t{-}1 & 1{-}4t \\ 0 & 3t{-}11 & 7 & t{-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & t{+}6 & t{-}9 \\ 0 & 1{-}4t & 5t{-}1 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 \\ 0 & t{-}6 & 7 & 3t{-}11\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,4t/5{-}1/5,6/5{-}t/5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & t{+}6 & t{-}9 \\ 0 & 1{-}4t & 5t{-}1 & (t{-}7)(t{-}1){-}5 \\ 0 & t{-}6 & 7 & 3t{-}11\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & t{+}6 & t{-}9 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/5{+}2t/5{+}1/5 & t^2/5{-}3t/5{+}1/5 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}t/5{-}6/5,9/5{-}t/5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & t{+}6 & t{-}9 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/5{+}2t/5{+}1/5 & t^2/5{-}3t/5{+}1/5 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/5{+}2t/5{+}1/5 & t^2/5{-}3t/5{+}1/5 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/5{+}2t/5{+}1/5 & t^2/5{-}3t/5{+}1/5 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/5{+}2t/5{+}1/5 & t^2/5{-}3t/5{+}1/5\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/5{+}2t/5{+}1/5 & t^2/5{-}3t/5{+}1/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t^2{-}3t/5{-}3/5\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & t^2/5{-}1/5 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t^2{-}3t/5{-}3/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t(t{-}1)\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [2*t/5 - 3/5] : 2 行 [0]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t(t{-}1)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/2{+}3/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2/5{-}1/5 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & 1/4 & t({-}2t^2{-}t{+}3)/4\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,5t/2{+}5/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & 1/4 & t({-}2t^2{-}t{+}3)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & 3/4 \\ 0 & 0 & 1/4 & {-}t^3/2{-}t^2/4{+}t/8{-}5/16\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [1/4] : 2 行 [3/4]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & 3/4 \\ 0 & 0 & 1/4 & {-}t^3/2{-}t^2/4{+}t/8{-}5/16\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & {-}t^3/2{-}t^2/4{+}t/8{-}5/16 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & 3/4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,8t/5{-}12/5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & {-}t^3/2{-}t^2/4{+}t/8{-}5/16 \\ 0 & 0 & 2t/5{-}3/5 & 3/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & {-}t^3/2{-}t^2/4{+}t/8{-}5/16 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}t^2{-}t{+}1)/5\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}2t^3{-}t^2{+}t/2{-}5/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & {-}t^3/2{-}t^2/4{+}t/8{-}5/16 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}t^2{-}t{+}1)/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}t^2{-}t{+}1)/5\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}t^2{-}t{+}1)\end{array}\right] \]