行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & t{-}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & t{-}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & t{-}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}3 & 0 & 1 \\ t{-}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ 1 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1{-}t,{-}1,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}3 & 0 & 1 \\ t{-}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ 1 & 1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}3 & 0 & 1 \\ 0 & (t{-}3)(t{-}1) & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & t{-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,3{-}t,0,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}3 & 0 & 1 \\ 0 & (t{-}3)(t{-}1) & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & t{-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}3)(t{-}1) & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & t{-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}3)(t{-}1) & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & t{-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1 \\ 0 & t{-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & (t{-}3)(t{-}1) & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,2{-}t,{-}t^2{+}4t{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1 \\ 0 & t{-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & (t{-}3)(t{-}1) & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & (t{-}2)(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2{-}4t{+}2 & t^3{-}5t^2{+}8t{-}4\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}1,1{-}t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & t{-}1 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & (t{-}2)(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2{-}4t{+}2 & t^3{-}5t^2{+}8t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & (t{-}2)(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2{-}4t{+}2 & t^3{-}5t^2{+}8t{-}4\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/2{-}7/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & (t{-}2)(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2{-}4t{+}2 & t^3{-}5t^2{+}8t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & (t{-}2)(t{-}1) \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}7t/4{-}1/2\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/2{-}5/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & (t{-}2)(t{-}1) \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}7t/4{-}1/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & 3/4 \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}13t/8{-}3/16\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [1/4] : 2 行 [3/4]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & 3/4 \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}13t/8{-}3/16\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}13t/8{-}3/16 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & 3/4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,8t{-}4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}13t/8{-}3/16 \\ 0 & 0 & 2t{-}1 & 3/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}13t/8{-}3/16 \\ 0 & 0 & 0 & 4t({-}t^3{+}4t^2{-}5t{+}2)\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2t^3{-}7t^2{+}13t/2{-}3/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & t^3/2{-}7t^2/4{+}13t/8{-}3/16 \\ 0 & 0 & 0 & 4t({-}t^3{+}4t^2{-}5t{+}2)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4t({-}t^3{+}4t^2{-}5t{+}2)\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}4t^2{+}5t{-}2)\end{array}\right] \]