行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t & 0 & 0 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & t{-}3 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & 0 & 0 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & t{-}3 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & 0 & 0 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & t{-}3 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}0 & {-}1 & t{-}3 & {-}1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

II : 第1列と第2列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}0 & {-}1 & t{-}3 & {-}1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ t{-}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1{-}t,0,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ t{-}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 1{-}t \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,0,3{-}t,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 1{-}t \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 1{-}t \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 1{-}t \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 1{-}t \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

II : 第2列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 & 1 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 1{-}t \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & t \\ 0 & 1{-}t & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 0 \\ 0 & t{-}1 & 0 & 0\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,1{-}t,t{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & t \\ 0 & 1{-}t & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 0 \\ 0 & t{-}1 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & t \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & 0 & t(1{-}t)\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & t \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & 0 & t(1{-}t)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & 0 & t(1{-}t)\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & 0 & t(1{-}t)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 3t{-}4 \\ 0 & 0 & 0 & t(1{-}t)\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [3*t - 4]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 & 3t{-}4 \\ 0 & 0 & 0 & t(1{-}t)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t/3{-}1/9] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & (3t{+}1)((t{-}3)(t{-}1){+}1)/9\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/3{-}8/9] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & (t{-}3)(t{-}1){+}1 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & (3t{+}1)((t{-}3)(t{-}1){+}1)/9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & 4/9 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & t^3/3{-}11t^2/9{+}28t/27{+}4/81\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [-4/9] : 2 行 [4/9]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & 4/9 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & t^3/3{-}11t^2/9{+}28t/27{+}4/81\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & t^3/3{-}11t^2/9{+}28t/27{+}4/81 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & 4/9\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,9{-}27t/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & t^3/3{-}11t^2/9{+}28t/27{+}4/81 \\ 0 & 0 & 3t{-}4 & 4/9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & t^3/3{-}11t^2/9{+}28t/27{+}4/81 \\ 0 & 0 & 0 & 9t(t^3{-}5t^2{+}8t{-}4)/4\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}3t^3/4{+}11t^2/4{-}7t/3{-}1/9] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & t^3/3{-}11t^2/9{+}28t/27{+}4/81 \\ 0 & 0 & 0 & 9t(t^3{-}5t^2{+}8t{-}4)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4/9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9t(t^3{-}5t^2{+}8t{-}4)/4\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}5t^2{+}8t{-}4)\end{array}\right] \]