行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & {-}1 & 2 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 1 \\ 0 & {-}1 & t{+}1 & 1 \\ 3 & 4 & {-}5 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & {-}1 & 2 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 1 \\ 0 & {-}1 & t{+}1 & 1 \\ 3 & 4 & {-}5 & t{-}1\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1列と第2列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & {-}1 & 2 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 1 & 1 \\ 0 & {-}1 & t{+}1 & 1 \\ 3 & 4 & {-}5 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & 2 & 1 \\ t{-}1 & 0 & 1 & 1 \\ {-}1 & 0 & t{+}1 & 1 \\ 4 & 3 & {-}5 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1{-}t,1,{-}4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & 2 & 1 \\ t{-}1 & 0 & 1 & 1 \\ {-}1 & 0 & t{+}1 & 1 \\ 4 & 3 & {-}5 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & 2 & 1 \\ 0 & (t{-}1)^2 & 2t{-}1 & t \\ 0 & 1{-}t & t{-}1 & 0 \\ 0 & 4t{-}1 & 3 & t{+}3\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,1{-}t,{-}2,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & 2 & 1 \\ 0 & (t{-}1)^2 & 2t{-}1 & t \\ 0 & 1{-}t & t{-}1 & 0 \\ 0 & 4t{-}1 & 3 & t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}1)^2 & 2t{-}1 & t \\ 0 & 1{-}t & t{-}1 & 0 \\ 0 & 4t{-}1 & 3 & t{+}3\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}1)^2 & 2t{-}1 & t \\ 0 & 1{-}t & t{-}1 & 0 \\ 0 & 4t{-}1 & 3 & t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4t{-}1 & 3 & t{+}3 \\ 0 & 1{-}t & t{-}1 & 0 \\ 0 & (t{-}1)^2 & 2t{-}1 & t\end{array}\right] \]

II : 第2列と第3列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4t{-}1 & 3 & t{+}3 \\ 0 & 1{-}t & t{-}1 & 0 \\ 0 & (t{-}1)^2 & 2t{-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4t{-}1 & t{+}3 \\ 0 & t{-}1 & 1{-}t & 0 \\ 0 & 2t{-}1 & (t{-}1)^2 & t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,t/3{-}1/3,2t/3{-}1/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4t{-}1 & t{+}3 \\ 0 & t{-}1 & 1{-}t & 0 \\ 0 & 2t{-}1 & (t{-}1)^2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4t{-}1 & t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 \\ 0 & 0 & 2/3{-}5t^2/3 & {-}2t^2/3{-}2t/3{+}1\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,4t/3{-}1/3,t/3{+}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4t{-}1 & t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 \\ 0 & 0 & 2/3{-}5t^2/3 & {-}2t^2/3{-}2t/3{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 \\ 0 & 0 & 2/3{-}5t^2/3 & {-}2t^2/3{-}2t/3{+}1\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 \\ 0 & 0 & 2/3{-}5t^2/3 & {-}2t^2/3{-}2t/3{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}2t/3{+}1 & 2/3{-}5t^2/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}2t/3{+}1 & 2/3{-}5t^2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t/3{-}2/3\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & {-}4t^2/3{+}2t/3{+}2/3 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t/3{-}2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & 10t/3{-}10/3 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t{+}10/3\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [2*t/3 - 1] : 2 行 [10*t/3 - 10/3]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & 10t/3{-}10/3 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t{+}10/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t{+}10/3 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & 10t/3{-}10/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t/2{-}7/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t{+}10/3 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}1)(t{+}3)/3 & 10t/3{-}10/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t{+}10/3 \\ 0 & 0 & {-}3/4 & t^3/2{-}t^2/4{-}2t{+}5/2\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3t/2{-}15/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & t^2{-}4t{+}10/3 \\ 0 & 0 & {-}3/4 & t^3/2{-}t^2/4{-}2t{+}5/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & {-}5/12 \\ 0 & 0 & {-}3/4 & t^3/2{-}t^2/4{-}7t/8{-}5/16\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [-3/4] : 2 行 [-5/12]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2t/3{-}1 & {-}5/12 \\ 0 & 0 & {-}3/4 & t^3/2{-}t^2/4{-}7t/8{-}5/16\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/12 & 2t/3{-}1 \\ 0 & 0 & t^3/2{-}t^2/4{-}7t/8{-}5/16 & {-}3/4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}6t^3/5{+}3t^2/5{+}21t/10{+}3/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/12 & 2t/3{-}1 \\ 0 & 0 & t^3/2{-}t^2/4{-}7t/8{-}5/16 & {-}3/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/12 & 2t/3{-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)/5\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,12/5{-}8t/5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/12 & 2t/3{-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)/5\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)\end{array}\right] \]