行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}7 & {-}12 & 7 & 4 \\ 4 & t{+}6 & {-}4 & {-}4 \\ 3 & 4 & t{-}3 & {-}4 \\ {-}3 & {-}6 & 3 & t{+}1\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}7 & {-}12 & 7 & 4 \\ 4 & t{+}6 & {-}4 & {-}4 \\ 3 & 4 & t{-}3 & {-}4 \\ {-}3 & {-}6 & 3 & t{+}1\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}7 & {-}12 & 7 & 4 \\ 4 & t{+}6 & {-}4 & {-}4 \\ 3 & 4 & t{-}3 & {-}4 \\ {-}3 & {-}6 & 3 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 4 & t{-}3 & {-}4 \\ 4 & t{+}6 & {-}4 & {-}4 \\ t{-}7 & {-}12 & 7 & 4 \\ {-}3 & {-}6 & 3 & t{+}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1,t/3{-}7/3,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 4 & t{-}3 & {-}4 \\ 4 & t{+}6 & {-}4 & {-}4 \\ t{-}7 & {-}12 & 7 & 4 \\ {-}3 & {-}6 & 3 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 4 & t{-}3 & {-}4 \\ 1 & t{+}2 & {-}t{-}1 & 0 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,1,t/3{-}1,{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 4 & t{-}3 & {-}4 \\ 1 & t{+}2 & {-}t{-}1 & 0 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & t{+}1 & {-}4t/3 & 2 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [1, 0, 0] : 0 行 [1, 0, 2]
1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & t{+}1 & {-}4t/3 & 2 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}4t/3 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,3,0,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}4t/3 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}4t/3 & 2 \\ 0 & {-}3t{-}2 & 4t & {-}4 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,t{+}1,{-}4t/3,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}4t/3 & 2 \\ 0 & {-}3t{-}2 & 4t & {-}4 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}3t{-}2 & 4t & {-}4 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}3t{-}2 & 4t & {-}4 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}3t{-}2 & 4t & {-}4\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,2t/3{+}4/3,3t/2{+}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3 \\ 0 & {-}4t/3{-}8/3 & t(10{-}t)/3 & 4t/3{-}16/3 \\ 0 & {-}3t{-}2 & 4t & {-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3 \\ 0 & 0 & t(2{-}t) & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 \\ 0 & 0 & 3t(2{-}t)/2 & {-}3t^2/2{+}7t/2{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}t/2,3/2{-}t/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & t & t{-}3 \\ 0 & 0 & t(2{-}t) & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 \\ 0 & 0 & 3t(2{-}t)/2 & {-}3t^2/2{+}7t/2{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(2{-}t) & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 \\ 0 & 0 & 3t(2{-}t)/2 & {-}3t^2/2{+}7t/2{-}1\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(2{-}t) & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 \\ 0 & 0 & 3t(2{-}t)/2 & {-}3t^2/2{+}7t/2{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & t(2{-}t) \\ 0 & 0 & {-}3t^2/2{+}7t/2{-}1 & 3t(2{-}t)/2\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,9/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & t(2{-}t) \\ 0 & 0 & {-}3t^2/2{+}7t/2{-}1 & 3t(2{-}t)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & t(2{-}t) \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t(t{-}2)/4\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & t(2{-}t) \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t(t{-}2)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & 2{-}t \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t^2/4{-}3\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [2 - t] : 2 行 [2 - t]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & 2{-}t \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t^2/4{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t^2/4{-}3 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & 2{-}t\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2t/3{-}2/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t^2/4{-}3 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}2t{-}4/3 & 2{-}t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t^2/4{-}3 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^2{+}t{+}2)/2\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}3t/4{-}3/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2{-}t & 3t^2/4{-}3 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^2{+}t{+}2)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2{-}t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^2{+}t{+}2)/2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^2{-}t{-}2)\end{array}\right] \]