行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & t{-}2 & 1 & 1 \\ {-}2 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ 1 & 0 & 1 & t{-}1\end{array}\right) \]

解答

\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & t{-}2 & 1 & 1 \\ {-}2 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ 1 & 0 & 1 & t{-}1\end{array}\right) \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零最小元を探す

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & t{-}2 & 1 & 1 \\ {-}2 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ 1 & 0 & 1 & t{-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 1 & 1 \\ t{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}2 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ 1 & 0 & 1 & t{-}1\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t{-}1,{-}2,1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 1 & 1 \\ t{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}2 & 0 & t{-}3 & {-}1 \\ 1 & 0 & 1 & t{-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 1 & 1 \\ 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & 1{-}t & 1{-}t \\ 0 & 2t{-}4 & t{-}1 & 1 \\ 0 & 2{-}t & 0 & t{-}2\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,t{-}2,1,1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 1 & 1 \\ 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & 1{-}t & 1{-}t \\ 0 & 2t{-}4 & t{-}1 & 1 \\ 0 & 2{-}t & 0 & t{-}2\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & 1{-}t & 1{-}t \\ 0 & 2t{-}4 & t{-}1 & 1 \\ 0 & 2{-}t & 0 & t{-}2\end{array}\right) \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & 1{-}t & 1{-}t \\ 0 & 2t{-}4 & t{-}1 & 1 \\ 0 & 2{-}t & 0 & t{-}2\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2t{-}4 & t{-}1 & 1 \\ 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & 1{-}t & 1{-}t \\ 0 & 2{-}t & 0 & t{-}2\end{array}\right) \]

II : 第2列と第4列を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2t{-}4 & t{-}1 & 1 \\ 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & 1{-}t & 1{-}t \\ 0 & 2{-}t & 0 & t{-}2\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t{-}1 & 2t{-}4 \\ 0 & 1{-}t & 1{-}t & {-}t^2{+}3t{-}2 \\ 0 & t{-}2 & 0 & 2{-}t\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,1{-}t,t{-}2] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t{-}1 & 2t{-}4 \\ 0 & 1{-}t & 1{-}t & {-}t^2{+}3t{-}2 \\ 0 & t{-}2 & 0 & 2{-}t\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t{-}1 & 2t{-}4 \\ 0 & 0 & t^2{-}3t{+}2 & t^2{-}3t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & {-}2t^2{+}7t{-}6\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,t{-}1,2t{-}4] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t{-}1 & 2t{-}4 \\ 0 & 0 & t^2{-}3t{+}2 & t^2{-}3t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & {-}2t^2{+}7t{-}6\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2{-}3t{+}2 & t^2{-}3t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & {-}2t^2{+}7t{-}6\end{array}\right) \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零最小元を探す

III : (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2{-}3t{+}2 & t^2{-}3t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}3t{-}2 & {-}2t^2{+}7t{-}6\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2{-}3t{+}2 & t^2{-}3t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & {-}t^2{+}4t{-}4\end{array}\right) \]

III : (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2{-}3t{+}2 & t^2{-}3t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & {-}t^2{+}4t{-}4\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t^2{-}3t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {-}t^2{+}4t{-}4\end{array}\right) \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t^3{-}5t^2{+}8t{-}4\end{array}\right) \]