行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & 1 & {-}1 & 1 \\ 1 & t & {-}2 & {-}3 \\ 1 & 0 & t{-}2 & {-}4 \\ {-}1 & 0 & 1 & t{+}3\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 1 & {-}1 & 1 \\ 1 & t & {-}2 & {-}3 \\ 1 & 0 & t{-}2 & {-}4 \\ {-}1 & 0 & 1 & t{+}3\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 1 & {-}1 & 1 \\ 1 & t & {-}2 & {-}3 \\ 1 & 0 & t{-}2 & {-}4 \\ {-}1 & 0 & 1 & t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}2 & {-}3 \\ t{-}1 & 1 & {-}1 & 1 \\ 1 & 0 & t{-}2 & {-}4 \\ {-}1 & 0 & 1 & t{+}3\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t{-}1,1,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}2 & {-}3 \\ t{-}1 & 1 & {-}1 & 1 \\ 1 & 0 & t{-}2 & {-}4 \\ {-}1 & 0 & 1 & t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}2 & {-}3 \\ 0 & {-}t(t{-}1){+}1 & 2t{-}3 & 3t{-}2 \\ 0 & {-}t & t & {-}1 \\ 0 & t & {-}1 & t\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,t,{-}2,{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}2 & {-}3 \\ 0 & {-}t(t{-}1){+}1 & 2t{-}3 & 3t{-}2 \\ 0 & {-}t & t & {-}1 \\ 0 & t & {-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}t(t{-}1){+}1 & 2t{-}3 & 3t{-}2 \\ 0 & {-}t & t & {-}1 \\ 0 & t & {-}1 & t\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}t(t{-}1){+}1 & 2t{-}3 & 3t{-}2 \\ 0 & {-}t & t & {-}1 \\ 0 & t & {-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t & {-}1 & t \\ 0 & {-}t & t & {-}1 \\ 0 & {-}t(t{-}1){+}1 & 2t{-}3 & 3t{-}2\end{array}\right] \]

II : 第2列と第3列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t & {-}1 & t \\ 0 & {-}t & t & {-}1 \\ 0 & {-}t(t{-}1){+}1 & 2t{-}3 & 3t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & t & t \\ 0 & t & {-}t & {-}1 \\ 0 & 2t{-}3 & {-}t(t{-}1){+}1 & 3t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}t,3{-}2t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & t & t \\ 0 & t & {-}t & {-}1 \\ 0 & 2t{-}3 & {-}t(t{-}1){+}1 & 3t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & t & t \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & t^2{-}2t{+}1 & 2t^2{-}2\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}t,{-}t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & t & t \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & t^2{-}2t{+}1 & 2t^2{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & t^2{-}2t{+}1 & 2t^2{-}2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & t^2{-}2t{+}1 & 2t^2{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{-}1\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t{-}1 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{+}t{-}2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [1 - t] : 2 行 [t - 1]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t{-}1 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{+}t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{+}t{-}2 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{+}t{-}2 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{+}t{-}2 \\ 0 & 0 & 0 & t^3{+}t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t^2{+}t{-}2 \\ 0 & 0 & 0 & t^3{+}t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1{-}t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t^3{+}t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t^3{+}t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \]