行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}3 & {-}1 & {-}1 & {-}2 \\ {-}1 & t{-}4 & {-}2 & {-}4 \\ 2 & 1 & t{-}1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & t{+}2\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}3 & {-}1 & {-}1 & {-}2 \\ {-}1 & t{-}4 & {-}2 & {-}4 \\ 2 & 1 & t{-}1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & t{+}2\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}3 & {-}1 & {-}1 & {-}2 \\ {-}1 & t{-}4 & {-}2 & {-}4 \\ 2 & 1 & t{-}1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}2 & {-}4 \\ t{-}3 & {-}1 & {-}1 & {-}2 \\ 2 & 1 & t{-}1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & t{+}2\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,3{-}t,{-}2,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}2 & {-}4 \\ t{-}3 & {-}1 & {-}1 & {-}2 \\ 2 & 1 & t{-}1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}2 & {-}4 \\ 0 & (t{-}4)(t{-}3){-}1 & 5{-}2t & 10{-}4t \\ 0 & 2t{-}7 & t{-}5 & {-}6 \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,4{-}t,2,4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}2 & {-}4 \\ 0 & (t{-}4)(t{-}3){-}1 & 5{-}2t & 10{-}4t \\ 0 & 2t{-}7 & t{-}5 & {-}6 \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}4)(t{-}3){-}1 & 5{-}2t & 10{-}4t \\ 0 & 2t{-}7 & t{-}5 & {-}6 \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (t{-}4)(t{-}3){-}1 & 5{-}2t & 10{-}4t \\ 0 & 2t{-}7 & t{-}5 & {-}6 \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2t{-}7 & t{-}5 & {-}6 \\ 0 & (t{-}4)(t{-}3){-}1 & 5{-}2t & 10{-}4t \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \]

II : 第2列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2t{-}7 & t{-}5 & {-}6 \\ 0 & (t{-}4)(t{-}3){-}1 & 5{-}2t & 10{-}4t \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & t{-}5 & 2t{-}7 \\ 0 & 10{-}4t & 5{-}2t & (t{-}4)(t{-}3){-}1 \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,2t/3{-}5/3,1/3{-}t/6] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & t{-}5 & 2t{-}7 \\ 0 & 10{-}4t & 5{-}2t & (t{-}4)(t{-}3){-}1 \\ 0 & t{-}2 & 0 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & t{-}5 & 2t{-}7 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}3t{-}10/3 & {-}t^2/3{+}t{-}2/3 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,5/6{-}t/6,7/6{-}t/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & t{-}5 & 2t{-}7 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}3t{-}10/3 & {-}t^2/3{+}t{-}2/3 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}3t{-}10/3 & {-}t^2/3{+}t{-}2/3 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}3t{-}10/3 & {-}t^2/3{+}t{-}2/3 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}3t{-}10/3 & {-}t^2/3{+}t{-}2/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{+}3t{-}10/3 & {-}t^2/3{+}t{-}2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & 10/3{-}5t/3 & t^2{-}7t/3{+}2/3\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & t^2/3{-}5t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & 10/3{-}5t/3 & t^2{-}7t/3{+}2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & 3t/2{-}3 \\ 0 & 0 & 10/3{-}5t/3 & t^2{+}t{-}6\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [10/3 - 5*t/3] : 2 行 [3*t/2 - 3]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (t{-}5)(t{-}2)/6 & 3t/2{-}3 \\ 0 & 0 & 10/3{-}5t/3 & t^2{+}t{-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & (t{-}5)(t{-}2)/6 \\ 0 & 0 & t^2{+}t{-}6 & 10/3{-}5t/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2t/3{+}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & (t{-}5)(t{-}2)/6 \\ 0 & 0 & t^2{+}t{-}6 & 10/3{-}5t/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & (t{-}5)(t{-}2)/6 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^2{+}4t{-}4)/9\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/9{-}5/9] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & (t{-}5)(t{-}2)/6 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^2{+}4t{-}4)/9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^2{+}4t{-}4)/9\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^2{-}4t{+}4)\end{array}\right] \]