行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t & 0 & 0 & {-}2 \\ 3 & t{-}2 & 1 & {-}2 \\ {-}1 & 0 & t{-}1 & 3 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & 0 & 0 & {-}2 \\ 3 & t{-}2 & 1 & {-}2 \\ {-}1 & 0 & t{-}1 & 3 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & 0 & 0 & {-}2 \\ 3 & t{-}2 & 1 & {-}2 \\ {-}1 & 0 & t{-}1 & 3 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}1 & 3 \\ 3 & t{-}2 & 1 & {-}2 \\ t & 0 & 0 & {-}2 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}3,{-}t,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}1 & 3 \\ 3 & t{-}2 & 1 & {-}2 \\ t & 0 & 0 & {-}2 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}1 & 3 \\ 0 & t{-}2 & 3t{-}2 & 7 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t{-}4\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,0,1{-}t,{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}1 & 3 \\ 0 & t{-}2 & 3t{-}2 & 7 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}2 & 3t{-}2 & 7 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t{-}4\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}2 & 3t{-}2 & 7 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 3t{-}2 & t{-}2 \\ 0 & 3t{-}2 & t(t{-}1) & 0 \\ 0 & t{-}4 & 1{-}t & 0\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,3t/7{-}2/7,t/7{-}4/7] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 3t{-}2 & t{-}2 \\ 0 & 3t{-}2 & t(t{-}1) & 0 \\ 0 & t{-}4 & 1{-}t & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 3t{-}2 & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7 \\ 0 & 0 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,3t/7{-}2/7,t/7{-}2/7] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 3t{-}2 & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7 \\ 0 & 0 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7 \\ 0 & 0 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7 \\ 0 & 0 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7\end{array}\right] \]

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}2)(3t{-}2)/7 & {-}2t^2/7{+}5t/7{-}4/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{-}16t/7{-}1/7\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & {-}3t^2/7{+}t{-}1/7 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{-}16t/7{-}1/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & 23/7{-}11t/7 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{+}2t{-}61/7\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [20/7 - 10*t/7] : 2 行 [23/7 - 11*t/7]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & 23/7{-}11t/7 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{+}2t{-}61/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{+}2t{-}61/7 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & 23/7{-}11t/7\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/10{-}2/5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{+}2t{-}61/7 \\ 0 & 0 & {-}(t{-}4)(t{-}2)/7 & 23/7{-}11t/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{+}2t{-}61/7 \\ 0 & 0 & 0 & {-}t^3/10{+}t^2/5{+}t/10{-}1/5\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}7t/10{-}14/5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & t^2{+}2t{-}61/7 \\ 0 & 0 & 0 & {-}t^3/10{+}t^2/5{+}t/10{-}1/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & {-}5/7 \\ 0 & 0 & 0 & {-}t^3/10{+}t^2/5{+}t/10{-}1/5\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [-5/7]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 20/7{-}10t/7 & {-}5/7 \\ 0 & 0 & 0 & {-}t^3/10{+}t^2/5{+}t/10{-}1/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/7 & 20/7{-}10t/7 \\ 0 & 0 & {-}t^3/10{+}t^2/5{+}t/10{-}1/5 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,7t^3/50{-}7t^2/25{-}7t/50{+}7/25] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/7 & 20/7{-}10t/7 \\ 0 & 0 & {-}t^3/10{+}t^2/5{+}t/10{-}1/5 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/7 & 20/7{-}10t/7 \\ 0 & 0 & 0 & (t{-}2)(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)/5\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2t{-}4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/7 & 20/7{-}10t/7 \\ 0 & 0 & 0 & (t{-}2)(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)/5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}5/7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (t{-}2)(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)/5\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t^4{-}4t^3{+}3t^2{+}4t{-}4\end{array}\right] \]