行列の計算例題（スミス標準形）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列のスミス標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}3 & 0 & 0 & {-}1 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ 4 & {-}1 & t{-}1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \]

解答

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}3 & 0 & 0 & {-}1 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ 4 & {-}1 & t{-}1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \]



1 段 : 探索領域 (4, 4)

第1行、第1列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}3 & 0 & 0 & {-}1 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ 4 & {-}1 & t{-}1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}4 & {-}1 & t{-}1 & 3 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ t{-}3 & 0 & 0 & {-}1 \\ 4 & 0 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \]

II : 第1列と第2列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}4 & {-}1 & t{-}1 & 3 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ t{-}3 & 0 & 0 & {-}1 \\ 4 & 0 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 4 & t{-}1 & 3 \\ t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}t,0,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 4 & t{-}1 & 3 \\ t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 4 & t{-}1 & 3 \\ 0 & 4t & t(t{-}1) & 3t \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \]

III : 第1列の (1,1) 成分を使って第1行の他の成分を小さくする : \( [0,{-}4,1{-}t,{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 4 & t{-}1 & 3 \\ 0 & 4t & t(t{-}1) & 3t \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4t & t(t{-}1) & 3t \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 0 列 [0, 0, 0] : 0 行 [0, 0, 0]
1 段まで計算手続き完了

2 段 : 探索領域 (4, 4)

第2行、第2列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4t & t(t{-}1) & 3t \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4t & t(t{-}1) & 3t \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \]

II : 第2列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}3 & 0 & {-}1 \\ 0 & 4t & t(t{-}1) & 3t \\ 0 & 4 & 0 & t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & t{-}3 \\ 0 & 3t & t(t{-}1) & 4t \\ 0 & t{+}2 & 0 & 4\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}3t,{-}t{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & t{-}3 \\ 0 & 3t & t(t{-}1) & 4t \\ 0 & t{+}2 & 0 & 4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t(3t{-}5) \\ 0 & 0 & 0 & t^2{-}t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第2列の (2,2) 成分を使って第2行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3{-}t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t(3t{-}5) \\ 0 & 0 & 0 & t^2{-}t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t(3t{-}5) \\ 0 & 0 & 0 & t^2{-}t{-}2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 1 列 [0, 0] : 1 行 [0, 0]
2 段まで計算手続き完了

3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & t(3t{-}5) \\ 0 & 0 & 0 & t^2{-}t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & {-}2t \\ 0 & 0 & 0 & t^2{-}t{-}2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [-2*t]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3列と第4列を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t(t{-}1) & {-}2t \\ 0 & 0 & 0 & t^2{-}t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2{-}t{-}2 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1/2{-}t/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & t^2{-}t{-}2 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1/2{-}t/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t & t(t{-}1) \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t & 0 \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2{-}t{+}1\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [-2] : 2 行 [0]
3 段 : 探索領域 (4, 4)

第3行、第3列以下の非零（絶対値）最小元を探す

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2t & 0 \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2{-}t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2{-}t{+}1 \\ 0 & 0 & {-}2t & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2{-}t{+}1 \\ 0 & 0 & {-}2t & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2{-}t{+}1 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^3{+}2t^2{+}t{-}2)/2\end{array}\right] \]

III : 第3列の (3,3) 成分を使って第3行の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t^3/4{+}t^2/2{+}t/4{-}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2 & t(t{-}1)^2/2{-}t{+}1 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^3{+}2t^2{+}t{-}2)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^3{+}2t^2{+}t{-}2)/2\end{array}\right] \]

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 2 列 [0] : 2 行 [0]
3 段まで計算手続き完了

4 段 : 探索領域 (4, 4)

第4行、第4列以下の非零（絶対値）最小元を探す

判定 : 次段にすすむ？　（領域 : False） : 3 列 [] : 3 行 []
4 段まで計算手続き完了

対角成分を整形し、単因子を求める

探索設定領域 (4, 4) まで手続き完了により、計算手続きを終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}2t^2{-}t{+}2)\end{array}\right] \]