行列の計算例題（部分空間）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列の定める線型写像の核で表される部分空間を、ある線型写像の像として表せ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 3 & {-}1 & 2 & 1 \\ {-}1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & {-}1 & 0 & {-}3\end{array}\right] \]

解答

\[ A = \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 3 & {-}1 & 2 & 1 \\ {-}1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & {-}1 & 0 & {-}3\end{array}\right] \]

とおく。核 \(\text{Ker }A\) は、斉次形連立一次方程式 \(A x=0\) の解空間である。斉次形連立一次方程式の解は、係数行列 \(A\) を基本変形により簡約化することにより、計算できる。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 3 & {-}1 & 2 & 1 \\ {-}1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & {-}1 & 0 & {-}3\end{array}\right] \to \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}1/3 & 4/3 & 5/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

\[ \therefore\quad \text{Ker}(A) = \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 1/3 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}4/3 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}5/3 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \bigg\rangle \]

\[ \therefore\quad \text{Ker}(A) = \text{Im} \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & 1 & 2 \\ 1/3 & {-}4/3 & {-}5/3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \]