行列の計算例題（部分空間）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列の定める線型写像の核で表される部分空間を、ある線型写像の像として表せ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & {-}1 & {-}2 & {-}1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & {-}2 & 1 & 2 & 0 & 2 \\ {-}2 & 0 & 1 & 1 & {-}1 & 2\end{array}\right] \]

解答

\[ A = \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & {-}1 & {-}2 & {-}1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & {-}2 & 1 & 2 & 0 & 2 \\ {-}2 & 0 & 1 & 1 & {-}1 & 2\end{array}\right] \]

とおく。核 \(\text{Ker }A\) は、斉次形連立一次方程式 \(A x=0\) の解空間である。斉次形連立一次方程式の解は、係数行列 \(A\) を基本変形により簡約化することにより、計算できる。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & {-}1 & {-}2 & {-}1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & {-}2 & 1 & 2 & 0 & 2 \\ {-}2 & 0 & 1 & 1 & {-}1 & 2\end{array}\right] \to \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/10 & 9/10 & {-}2/5 \\ 0 & 1 & 0 & {-}3/5 & 2/5 & {-}2/5 \\ 0 & 0 & 1 & 4/5 & 4/5 & 6/5\end{array}\right] \]

\[ \therefore\quad \text{Ker}(A) = \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}1/10 \\ 3/5 \\ {-}4/5 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}9/10 \\ {-}2/5 \\ {-}4/5 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{@{}r@{}}2/5 \\ 2/5 \\ {-}6/5 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \bigg\rangle \]

\[ \therefore\quad \text{Ker}(A) = \text{Im} \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}@{}}1/10 & {-}9/10 & 2/5 \\ 3/5 & {-}2/5 & 2/5 \\ {-}4/5 & {-}4/5 & {-}6/5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \]