行列の計算例題（ジョルダン標準形）

　　　　　　　　　　


例題：スミス標準形を計算を使って、次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 0 & {-}3 & 3 \\ {-}3 & 2 & {-}5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

解答

\[ A = \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 0 & {-}3 & 3 \\ {-}3 & 2 & {-}5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]
\(tE-A\) のスミス標準形を計算し、単因子を求める。

\[ \text{単因子 : } 1, \qquad 1, \qquad 3, \qquad t(t^3{-}2t^2{-}t{+}2) \]

次数１以上の単因子（単元でない単因子）を既約多項式（１次式）の積に分解する。
\[ t(t{-}2)(t{-}1)(t{+}1) \]

単因子の成分 \((x-\lambda)^k\) に対して、ジョルダン細胞 \(J_k(\lambda)\) が \(A\) のジョルダン標準形に現れる。従って、

\[ A \simeq J_{1}(2) \oplus J_{1}(1) \oplus J_{1}(0) \oplus J_{1}(-1)\]