行列の計算例題（ジョルダン標準形）

　　　　　　　　　　


例題：スミス標準形を計算を使って、次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}3 & 1 & 0 & 0 \\ {-}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right] \]

解答

\[ A = \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}3 & 1 & 0 & 0 \\ {-}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right] \]
\(tE-A\) のスミス標準形を計算し、単因子を求める。

\[ \text{単因子 : } 1, \qquad t{-}2, \qquad t{-}2, \qquad t^2{-}4t{+}4 \]

次数１以上の単因子（単元でない単因子）を既約多項式（１次式）の積に分解する。
\[ t{-}2, \qquad t{-}2, \qquad (t{-}2)^2 \]

単因子の成分 \((x-\lambda)^k\) に対して、ジョルダン細胞 \(J_k(\lambda)\) が \(A\) のジョルダン標準形に現れる。従って、

\[ A \simeq J_{1}(2) \oplus J_{1}(2) \oplus J_{2}(2)\]