行列の計算例題（ジョルダン標準形）

例題：広義固有空間の不変部分空間の計算を使って、次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 0 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 \\ 1 & {-}2 & 2 & {-}3 \\ 1 & 0 & {-}1 & 0\end{array}\right] \]

解答

\[ A = \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 0 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 \\ 1 & {-}2 & 2 & {-}3 \\ 1 & 0 & {-}1 & 0\end{array}\right] \]
特性多項式を計算し、固有値と重複度を求める。

\[ \text{特性多項式： } \varPhi_A(t) = t^4{-}4t^3{+}5t^2{-}2t \] \[ \text{固有値（重複度）： }2 \text{（\(1\)）},\quad 1 \text{（\(2\)）},\quad 0 \text{（\(1\)）} \]

広義固有空間\(\widetilde{V}(\lambda)=\text{Ker}((A-\lambda E)^m)\)の部分空間\(V(\lambda)^j=\text{Ker}((A-\lambda E)^j)\)の次元を計算する。\[ \begin{array}{ll} \text{rank}(A{-}2E) = 1 & \qquad \text{dim (Ker}(A{-}2E)\text{)} = 3 \\ \text{rank}(A{{-}}E) = 2 & \qquad \text{dim (Ker}(A{{-}}E)\text{)} = 2 \\ \text{rank}(A{{-}}E)^{2} = 2 & \qquad \text{dim (Ker}(A{{-}}E)^{2}\text{)} = 2 \\ \text{rank}(A) = 1 & \qquad \text{dim (Ker}(A)\text{)} = 3 \end{array} \]
\[ \begin{array}{ll} d_j(2)=\text{dim(Ker}(A{-}2E)^{j}\text{)} \quad & 0,\quad 1,\quad 1,\quad \cdots\\ d_j(1)=\text{dim(Ker}(A{{-}}E)^{j}\text{)} \quad & 0,\quad 2,\quad 2,\quad 2,\quad \cdots\\ d_j(0)=\text{dim(Ker}(A^{j})\text{)} \quad & 0,\quad 1,\quad 1,\quad \cdots \end{array} \]

固有値 \(\lambda\) に対して、\(A\) のジョルダン標準形において、\(J_k(\lambda)\) の現れる回数 \(w_k(\lambda)\) は、\( w_k(\lambda) = d_{k-1}(\lambda)-2d_k(\lambda)+d_{k+1}(\lambda) \) で与えられる。
\[ \begin{array}{lll} & 1 & 2\\ w_j(2) \quad & 1\\ w_j(1) \quad & 2 & 0\\ w_j(0) \quad & 1 \end{array} \]

\[ \therefore \quad A \simeq J_1(2)\oplus J_1(1)\oplus J_1(1)\oplus J_1(0) \]