行列の計算例題（部分空間）

　　　　　　　　　　


例題：ベクトルの組で生成される部分空間を、ある線型写像の核として表せ。

\[ \left(\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}2 \\ 0\end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{@{}r@{}}{-}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}6 \\ 3\end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 3 \\ {-}3\end{array}\right) \]

解答

\[ A = \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & {-}3 & 3 & 0 \\ {-}2 & 2 & {-}6 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & {-}3\end{array}\right) \]

とおく。考えている部分空間は、\(A\) 倍写像の像である。\(\text{Im }A = \text{Ker }B\) を満たす行列 \(B\) を求めればよい。

　・ \(A\) は (3, 4) 行列なので、\(B\) の列数は \(A\) の行数の 3 に等しい。

　・ \(\text{dim(Im }A\text{)} = \text{rank }A\)、 \(\text{dim(Ker }B\text{)} = 3-\text{rank }B\) だから、\(\text{rank }B = 3-\text{rank }A\)

　・ \(A\) 倍写像の像が \(B\) 倍で消える（零ベクトルになる）ので、\(BA=O\) が成り立つ。

　・ 転置をとると、\({}^tA\,{}^tB=O\) なので、\(\text{Im }{}^tB\subset\text{Ker }{}^tA\) となる。

　・ \(\text{dim(Im }{}^tB\text{)} = \text{rank }{}^tB = \text{rank }B = 3-\text{rank }A \)

　・ \(\text{dim(Ker }{}^tA\text{)} = 3\text{(=\({}^tA\) の列数=\(A\) の行数)} -\text{rank }{}^tA = 3-\text{rank }A \)

従って、\(\text{dim(Im }{}^tB\text{)} = \text{dim(Ker }{}^tA\text{)}\) より \(\text{Im }{}^tB = \text{Ker }{}^tA\) である。斉次形連立一次方程式 \({}^tAx=0\) の解空間を求め、その生成元（基底）を並べることで \({}^tB\) が得られる。

\[ {}^tA = \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & {-}2 & 0 \\ {-}3 & 2 & 1 \\ 3 & {-}6 & 3 \\ 0 & 3 & {-}3\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & {-}1 \\ 0 & 1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \]

\(\text{rank }A = 2 \) なので、\(\text{rank }B = 3- \text{rank }A = 1\) である。解空間 \(\text{Ker }{}^tA\) の基底をとれば、\(B\) としてサイズ (1, 3) の行列が得られる。\[ B = \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 1 & 1\end{array}\right) \]