行列の計算例題（和空間（その１））

　　　　　　　　　　


例題：次の２つの部分空間の和空間を求めよ。

\[ \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ {-}4 \\ 4 \\ 2 \\ {-}4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}4 \\ {-}1 \\ 1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}4 \\ 4 \\ 3 \\ 2\end{array}\right] \bigg\rangle \quad + \quad \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 3 \\ {-}3 \\ {-}2 \\ 0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}2 \\ 8 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 4 \\ {-}7 \\ {-}2 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 4 \\ {-}4 \\ {-}3 \\ {-}2\end{array}\right] \bigg\rangle \]

解答

求める和空間を \(W\) と置く。幾つかのベクトルで生成された部分空間の和空間は、それらすべてのベクトルで生成される。つまり、

\[ W = \quad \big\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ {-}4 \\ 4 \\ 2 \\ {-}4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}4 \\ {-}1 \\ 1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}4 \\ 4 \\ 3 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 3 \\ {-}3 \\ {-}2 \\ 0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}2 \\ 8 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ 4 \\ {-}7 \\ {-}2 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ 4 \\ {-}4 \\ {-}3 \\ {-}2\end{array}\right] \big\rangle \]

である。一応、これでもいいのだが、こう言う問いに対しては、基底で与えるべきであろう。つまり、生成元を並べた行列を簡約化し、主成分を含む列に対応するベクトルを選べば、基底が得られ、求めたいものが得られる。

\[ \left[\begin{array}{rwr{20pt}wr{20pt}|wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}}{-}2 & 4 & {-}1 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ {-}4 & {-}1 & {-}4 & 3 & {-}2 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 & {-}3 & 8 & {-}7 & {-}4 \\ 2 & 1 & 3 & {-}2 & 1 & {-}2 & {-}3 \\ {-}4 & 4 & 2 & 0 & 2 & 2 & {-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{rwr{20pt}wr{20pt}|wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}}1 & 0 & 0 & {-}1/4 & 0 & {-}3/4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1/2 & 0 & 0 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & {-}1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

主成分を含む列は、第1列、第2列、第3列、第5列なので、\(W\) の基底として次のベクトルの組を取ることができる。　\[ W = \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ {-}4 \\ 4 \\ 2 \\ {-}4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}4 \\ {-}1 \\ 1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}1 \\ {-}4 \\ 4 \\ 3 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}2 \\ 8 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] \bigg\rangle \]