行列の計算例題（和空間（その１））

　　　　　　　　　　


例題：次の２つの部分空間の和空間を求めよ。

\[ \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}3 \\ {-}5 \\ 5\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 0 \\ {-}2 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}1 \\ {-}1 \\ 1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}1 \\ {-}2 \\ 2\end{array}\right] \bigg\rangle \quad + \quad \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}5 \\ {-}1 \\ {-}6 \\ 4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}1 \\ {-}4 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 1 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 2 \\ 4 \\ {-}4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}6 \\ 3 \\ 9 \\ {-}7\end{array}\right] \bigg\rangle \]

解答

求める和空間を \(W\) と置く。幾つかのベクトルで生成された部分空間の和空間は、それらすべてのベクトルで生成される。つまり、

\[ W = \quad \big\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}3 \\ {-}5 \\ 5\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 0 \\ {-}2 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}0 \\ {-}1 \\ {-}1 \\ 1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}1 \\ {-}1 \\ {-}2 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}5 \\ {-}1 \\ {-}6 \\ 4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}3 \\ {-}1 \\ {-}4 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 1 \\ {-}1 \\ 0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}2 \\ 2 \\ 4 \\ {-}4\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}{-}6 \\ 3 \\ 9 \\ {-}7\end{array}\right] \big\rangle \]

である。一応、これでもいいのだが、こう言う問いに対しては、基底で与えるべきであろう。つまり、生成元を並べた行列を簡約化し、主成分を含む列に対応するベクトルを選べば、基底が得られ、求めたいものが得られる。

\[ \left[\begin{array}{rwr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}|wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}}2 & 2 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & {-}2 & {-}6 \\ {-}3 & 0 & {-}1 & {-}1 & {-}1 & {-}1 & 1 & 2 & 3 \\ {-}5 & {-}2 & {-}1 & {-}2 & {-}6 & {-}4 & {-}1 & 4 & 9 \\ 5 & 2 & 1 & 2 & 4 & 2 & 0 & {-}4 & {-}7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{rwr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}|wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}wr{{{}pt}}}1 & 0 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & {-}1/2 & {-}2/3 & {-}2/3 \\ 0 & 1 & {-}1/3 & 1/6 & 0 & {-}1 & 1/4 & {-}1/3 & 1/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1/2 & 0 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

主成分を含む列は、第1列、第2列、第5列なので、\(W\) の基底として次のベクトルの組を取ることができる。　\[ W = \bigg\langle \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ {-}3 \\ {-}5 \\ 5\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}2 \\ 0 \\ {-}2 \\ 2\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{@{}r@{}}5 \\ {-}1 \\ {-}6 \\ 4\end{array}\right] \bigg\rangle \]