行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を整数環 \(\mathbb{Z}\) において簡約化せよ。（エルミート標準形を求めよ）

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}3 & 4 & {-}1 & 3 & {-}2 \\ 5 & {-}4 & {-}1 & {-}5 & 5 \\ {-}2 & 0 & 2 & 2 & {-}3 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \]

解答

整数環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}3 & 4 & {-}1 & 3 & {-}2 \\ 5 & {-}4 & {-}1 & {-}5 & 5 \\ {-}2 & 0 & 2 & 2 & {-}3 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}2 & 0 & 2 & 2 & {-}3 \\ 5 & {-}4 & {-}1 & {-}5 & 5 \\ {-}3 & 4 & {-}1 & 3 & {-}2 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \]

I : (1,1) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}2 & 0 & 2 & 2 & {-}3 \\ 5 & {-}4 & {-}1 & {-}5 & 5 \\ {-}3 & 4 & {-}1 & 3 & {-}2 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 0 & {-}2 & {-}2 & 3 \\ 5 & {-}4 & {-}1 & {-}5 & 5 \\ {-}3 & 4 & {-}1 & 3 & {-}2 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2,{-}2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 0 & {-}2 & {-}2 & 3 \\ 5 & {-}4 & {-}1 & {-}5 & 5 \\ {-}3 & 4 & {-}1 & 3 & {-}2 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 0 & {-}2 & {-}2 & 3 \\ 1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 1 & 4 & {-}5 & {-}1 & 4 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \]

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 0 & {-}2 & {-}2 & 3 \\ 1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 1 & 4 & {-}5 & {-}1 & 4 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 2 & 0 & {-}2 & {-}2 & 3 \\ 1 & 4 & {-}5 & {-}1 & 4 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2,1,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 2 & 0 & {-}2 & {-}2 & 3 \\ 1 & 4 & {-}5 & {-}1 & 4 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}2,0,4,4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5 \\ 0 & 8 & {-}8 & 0 & 5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & {-}4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & {-}4 & 1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,{-}1,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & {-}3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & {-}4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & {-}4 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 1 & {-}3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}3 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & {-}4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 1 & {-}3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}3 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & {-}4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]