行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を整数環 \(\mathbb{Z}\) において簡約化せよ。（エルミート標準形を求めよ）

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & {-}1 & {-}1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ {-}1 & 4 & 1 & {-}4 & {-}5 \\ {-}3 & 4 & 1 & {-}3 & {-}6\end{array}\right] \]

解答

整数環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & {-}1 & {-}1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ {-}1 & 4 & 1 & {-}4 & {-}5 \\ {-}3 & 4 & 1 & {-}3 & {-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 2 & {-}1 & {-}1 & 1 & 3 \\ {-}1 & 4 & 1 & {-}4 & {-}5 \\ {-}3 & 4 & 1 & {-}3 & {-}6\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2,{-}1,{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 2 & {-}1 & {-}1 & 1 & 3 \\ {-}1 & 4 & 1 & {-}4 & {-}5 \\ {-}3 & 4 & 1 & {-}3 & {-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & {-}7 & {-}1 & 7 & 7 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 13 & 1 & {-}12 & {-}12\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

I : (2,2) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & {-}7 & {-}1 & 7 & 7 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 13 & 1 & {-}12 & {-}12\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 13 & 1 & {-}12 & {-}12\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,1,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 13 & 1 & {-}12 & {-}12\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 1 & {-}7 & {-}7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [3,0,0,6] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 0 & {-}3 & {-}2 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & {-}5 & {-}5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}6 & 7 & 7\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {-}6 & 7 & 7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & {-}6 & 7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

I : (3,3) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & {-}6 & 7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 6 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,0,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 6 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 3 & {-}4 & {-}3 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 6 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 3 & {-}4 & {-}3 \\ 0 & 1 & 1 & {-}2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 6 & {-}7 & {-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]