行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を整数環 \(\mathbb{Z}\) において簡約化せよ。（エルミート標準形を求めよ）

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & {-}1 & {-}1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 2 & {-}1 & 0 \\ 2 & {-}2 & 0 & {-}3 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & {-}2 & {-}1\end{array}\right] \]

解答

整数環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [1]

I : (1,1) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}1 & {-}1 & {-}1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 2 & {-}1 & 0 \\ 2 & {-}2 & 0 & {-}3 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & {-}2 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 4 & 0 & 2 & {-}1 & 0 \\ 2 & {-}2 & 0 & {-}3 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & {-}2 & {-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,4,2,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 4 & 0 & 2 & {-}1 & 0 \\ 2 & {-}2 & 0 & {-}3 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & {-}2 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 15 & 8 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 5 & 4 \\ 0 & {-}2 & {-}1 & 10 & 5\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 15 & 8 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 5 & 4 \\ 0 & {-}2 & {-}1 & 10 & 5\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & {-}2 & {-}1 & 10 & 5 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 5 & 4 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 15 & 8\end{array}\right] \]

I : (2,2) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & {-}2 & {-}1 & 10 & 5 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 5 & 4 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 15 & 8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 5 & 4 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 15 & 8\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}2,{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 5 & 4 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & 15 & 8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & {-}15 & {-}6 \\ 0 & 0 & 0 & {-}5 & {-}2\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

第4列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & {-}15 & {-}6 \\ 0 & 0 & 0 & {-}5 & {-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & {-}5 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & {-}15 & {-}6\end{array}\right] \]

I : (3,4) 成分の符号を正にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & {-}5 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & {-}15 & {-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & {-}15 & {-}6\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,4) 成分を使って第4列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,{-}2,0,{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & {-}4 & {-}2 \\ 0 & 2 & 1 & {-}10 & {-}5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & {-}15 & {-}6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第5列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]