行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を整数環 \(\mathbb{Z}\) において簡約化せよ。（エルミート標準形を求めよ）

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}3 & 2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & {-}3 & 1 & 2 \\ {-}3 & {-}1 & {-}1 & {-}2 & 0 \\ {-}3 & {-}3 & 5 & 0 & {-}2\end{array}\right) \]

解答

整数環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 5)

第1列の、第1行から第4行までで非零最小元を探す [1]

III : (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1,{-}1,{-}1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}3 & 2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & {-}3 & 1 & 2 \\ {-}3 & {-}1 & {-}1 & {-}2 & 0 \\ {-}3 & {-}3 & 5 & 0 & {-}2\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}3 & 2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \]

loop start : (0, 0) : (4, 5)

第1列の、第1行から第4行までで非零最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}3 & 2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1,0,0] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \]

loop start : (0, 0) : (4, 5)

第1列の、第1行から第4行までで非零最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2,0,0] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & {-}2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 5)

第2列の、第2行から第4行までで非零最小元を探す [2]

I : (2,2) 成分の符号を正にする
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 1 & {-}2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & {-}1 & 2 & {-}1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [1,0,1,{-}1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & {-}1 & 2 & {-}1 \\ 0 & 1 & {-}3 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & 1 & {-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}1 & 2 & {-}1 \\ 0 & 0 & {-}2 & {-}3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & {-}2\end{array}\right) \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 5)

第3列の、第3行から第4行までで非零最小元を探す [3]

I : (3,3) 成分の符号を正にする
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}1 & 2 & {-}1 \\ 0 & 0 & {-}2 & {-}3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & {-}2\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}1 & 2 & {-}1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & {-}2 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & {-}2\end{array}\right) \]

III : (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1,0,1] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}1 & 2 & {-}1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & {-}2 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & {-}2\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 5 & {-}3 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 5)

第4列の、第4行から第4行までで非零最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する