行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を有理数体 \(\mathbb{Q}\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ 2 & 1 & {-}5 & 1 & {-}1 \\ {-}3 & {-}4 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & {-}1 & 2\end{array}\right] \]

解答

有理数体上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ 2 & 1 & {-}5 & 1 & {-}1 \\ {-}3 & {-}4 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & {-}1 & 2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 1 & {-}5 & 1 & {-}1 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ {-}3 & {-}4 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & {-}1 & 2\end{array}\right] \]

I : (1,1) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 1 & {-}5 & 1 & {-}1 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ {-}3 & {-}4 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & {-}1 & 2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ {-}3 & {-}4 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & {-}1 & 2\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分（主成分）を使って第1列の他の成分を０にする : \( [0,0,{-}3,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ {-}3 & {-}4 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & {-}1 & 2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ 0 & {-}5/2 & {-}11/2 & 5/2 & {-}3/2 \\ 0 & {-}1 & 5 & {-}2 & 3\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3 \\ 0 & {-}5/2 & {-}11/2 & 5/2 & {-}3/2 \\ 0 & {-}1 & 5 & {-}2 & 3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & {-}1 & 5 & {-}2 & 3 \\ 0 & {-}5/2 & {-}11/2 & 5/2 & {-}3/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3\end{array}\right] \]

I : (2,2) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & {-}1 & 5 & {-}2 & 3 \\ 0 & {-}5/2 & {-}11/2 & 5/2 & {-}3/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & {-}5/2 & {-}11/2 & 5/2 & {-}3/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分（主成分）を使って第2列の他の成分を０にする : \( [1/2,0,{-}5/2,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 1/2 & {-}5/2 & 1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & {-}5/2 & {-}11/2 & 5/2 & {-}3/2 \\ 0 & 3 & {-}3 & 1 & {-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & 0 & {-}18 & 15/2 & {-}9 \\ 0 & 0 & 12 & {-}5 & 6\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & 0 & {-}18 & 15/2 & {-}9 \\ 0 & 0 & 12 & {-}5 & 6\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & 0 & 12 & {-}5 & 6 \\ 0 & 0 & {-}18 & 15/2 & {-}9\end{array}\right] \]

I : (3,3) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & 0 & 12 & {-}5 & 6 \\ 0 & 0 & {-}18 & 15/2 & {-}9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/12 & 1/2 \\ 0 & 0 & {-}18 & 15/2 & {-}9\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分（主成分）を使って第3列の他の成分を０にする : \( [0,{-}5,0,{-}18] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}5 & 2 & {-}3 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/12 & 1/2 \\ 0 & 0 & {-}18 & 15/2 & {-}9\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & {-}1/12 & {-}1/2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/12 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}1/2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & {-}1/12 & {-}1/2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/12 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]