行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を有理数体 \(\mathbb{Q}\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}2 \\ {-}1 & 2 & {-}1 & 0 & {-}1 \\ {-}2 & 0 & 1 & {-}1 & 0 \\ {-}3 & 2 & 0 & {-}1 & {-}1\end{array}\right] \]

解答

有理数体上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [1]

III : 第1行の (1,1) 成分（主成分）を使って第1列の他の成分を０にする : \( [0,{-}1,{-}2,{-}3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}2 \\ {-}1 & 2 & {-}1 & 0 & {-}1 \\ {-}2 & 0 & 1 & {-}1 & 0 \\ {-}3 & 2 & 0 & {-}1 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}2 & 2 & {-}1 & {-}3 \\ 0 & {-}8 & 7 & {-}3 & {-}4 \\ 0 & {-}10 & 9 & {-}4 & {-}7\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

I : (2,2) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}2 & 2 & {-}1 & {-}3 \\ 0 & {-}8 & 7 & {-}3 & {-}4 \\ 0 & {-}10 & 9 & {-}4 & {-}7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & {-}8 & 7 & {-}3 & {-}4 \\ 0 & {-}10 & 9 & {-}4 & {-}7\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分（主成分）を使って第2列の他の成分を０にする : \( [{-}4,0,{-}8,{-}10] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}4 & 3 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & {-}8 & 7 & {-}3 & {-}4 \\ 0 & {-}10 & 9 & {-}4 & {-}7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & {-}1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & {-}1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & {-}1 & 1 & 8\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

I : (3,3) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & {-}1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & {-}1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & {-}1 & 1 & 8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & {-}1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 & {-}8 \\ 0 & 0 & {-}1 & 1 & 8\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分（主成分）を使って第3列の他の成分を０にする : \( [{-}1,{-}1,0,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & {-}1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 & {-}8 \\ 0 & 0 & {-}1 & 1 & 8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & {-}4 \\ 0 & 1 & 0 & {-}1/2 & {-}13/2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 & {-}8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 0 & {-}4 \\ 0 & 1 & 0 & {-}1/2 & {-}13/2 \\ 0 & 0 & 1 & {-}1 & {-}8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]