行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を有理数体 \(\mathbb{Q}\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}3 & {-}2 & 0 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 4 & {-}2 & {-}1 & {-}3 & 0\end{array}\right] \]

解答

有理数体上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [1]

I : (1,1) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}3 & {-}2 & 0 & {-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 4 & {-}2 & {-}1 & {-}3 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 4 & {-}2 & {-}1 & {-}3 & 0\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分（主成分）を使って第1列の他の成分を０にする : \( [0,0,0,4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 4 & {-}2 & {-}1 & {-}3 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 0 & 2/3 & {-}1 & {-}5/3 & 4/3\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 0 & 2/3 & {-}1 & {-}5/3 & 4/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 2/3 & {-}1 & {-}5/3 & 4/3 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \]

I : (2,2) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 2/3 & {-}1 & {-}5/3 & 4/3 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 1 & {-}3/2 & {-}5/2 & 2 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分（主成分）を使って第2列の他の成分を０にする : \( [{-}2/3,0,{-}1,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & {-}2/3 & 0 & {-}1/3 & {-}1/3 \\ 0 & 1 & {-}3/2 & {-}5/2 & 2 \\ 0 & {-}1 & 0 & 2 & {-}2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & {-}2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3/2 & {-}5/2 & 2 \\ 0 & 0 & {-}3/2 & {-}1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

I : (3,3) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & {-}2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3/2 & {-}5/2 & 2 \\ 0 & 0 & {-}3/2 & {-}1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & {-}2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3/2 & {-}5/2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分（主成分）を使って第3列の他の成分を０にする : \( [{-}1,{-}3/2,0,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}1 & {-}2 & 1 \\ 0 & 1 & {-}3/2 & {-}5/2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}5/3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & {-}2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & {-}5/3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & {-}2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]