行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を有理数体 \(\mathbb{Q}\) において簡約化し、簡約化を与えるための正則行列を求めよ。

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}2 & 2 & 1 & 1 & {-}1 \\ 1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 \\ {-}3 & {-}2 & 1 & {-}3 & {-}1 \\ 5 & 3 & 1 & 3 & 0\end{array}\right) \]

解答

（行）基本変形は、左から基本行列をかけることである。行列 \(A\) に１回基本変形を行って、行列 \(B\) になったとすると、\(A\) にその基本変形に対応した基本行列を左からかけると \(B\) になる。つまり、ある基本行列 \(C\) で \(CA=B\) と表される。簡約行列を得るまで基本変形を繰り返すのが簡約化なので、行列 \(A\) を簡約化して簡約行列 \(B\) が得られたなら、ある正則行列 \(C\) で \(CA=B\) と表される。簡約行列 \(B\) と正則行列 \(C\) を求めるのがこの問題である。そこで \(A\) の右側に \(A\) の行数のサイズの単位行列を並べた行列 \((A\ E)\) を考え、行基本変形により、\(A\) の部分のみを簡約化する。前半の \(A\) の部分は \(B\) に簡約化されるので、ある正則行列 \(C\) で \(CA=B\) と表せる。行基本変形により、行列 \((A\ E)\) の右側にも左側と同じ基本変形が行われるので、右側も左から正則行列 \(C\) をかけた行列になる。右側は単位行列であったから、そこに \(C\) が現れることになる。つまり、\((A\ E)\) を \(A\) が簡約化されるまで基本変形を行えば良い。 有理数体上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 5)

第1列の、第1行から第4行までで非零最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}2 & 2 & 1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ {-}3 & {-}2 & 1 & {-}3 & {-}1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}3 & {-}2 & 1 & {-}3 & {-}1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分（主成分）を使って第1列の他の成分を０にする : \( [0,2,{-}3,5] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 & {-}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}3 & {-}2 & 1 & {-}3 & {-}1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & {-}5 & 3 & 5 & 1 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 & {-}6 & {-}10 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}7 & {-}14 & 8 & 15 & 0 & {-}5 & 0 & 1\end{array}\right) \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 5)

第2列の、第2行から第4行までで非零最小元を探す [2]

I : (2,2) 成分を１にする
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & {-}5 & 3 & 5 & 1 & {-}2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 & {-}6 & {-}10 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}7 & {-}14 & 8 & 15 & 0 & {-}5 & 0 & 1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 & {-}6 & {-}10 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}7 & {-}14 & 8 & 15 & 0 & {-}5 & 0 & 1\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分（主成分）を使って第2列の他の成分を０にする : \( [2,0,4,{-}7] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 2 & 3 & {-}1 & {-}3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 & {-}6 & {-}10 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & {-}7 & {-}14 & 8 & 15 & 0 & {-}5 & 0 & 1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}2 & 2 & 2 & 1 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7/2 & {-}5/2 & {-}5/2 & {-}7/2 & 2 & 0 & 1\end{array}\right) \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 5)

第3列の、第3行から第4行までで非零最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}2 & 2 & 2 & 1 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7/2 & {-}5/2 & {-}5/2 & {-}7/2 & 2 & 0 & 1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}2 & 2 & 2 & 1 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7/2 & {-}5/2 & {-}5/2 & {-}7/2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right) \]

I : (3,3) 成分を１にする
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}2 & 2 & 2 & 1 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7/2 & {-}5/2 & {-}5/2 & {-}7/2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}2 & 2 & 2 & 1 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/7 & {-}5/7 & {-}1 & 4/7 & 0 & 2/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right) \]

III : (3,3) 成分（主成分）を使って第3列の他の成分を０にする : \( [{-}2,5/2,0,0] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & {-}2 & 2 & 2 & 1 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & {-}3/2 & {-}5/2 & {-}1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/7 & {-}5/7 & {-}1 & 4/7 & 0 & 2/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 4/7 & 4/7 & {-}1 & 1/7 & 0 & 4/7 \\ 0 & 1 & 0 & 2/7 & {-}5/7 & 2 & {-}3/7 & 0 & {-}5/7 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/7 & {-}5/7 & {-}1 & 4/7 & 0 & 2/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right) \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 5)

第4列の、第4行から第4行までで非零最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

以上より、簡約行列は \(\left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 4/7 & 4/7 \\ 0 & 1 & 0 & 2/7 & {-}5/7 \\ 0 & 0 & 1 & {-}5/7 & {-}5/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\) で、簡約化を与える正則行列は \(\left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}{-}1 & 1/7 & 0 & 4/7 \\ 2 & {-}3/7 & 0 & {-}5/7 \\ {-}1 & 4/7 & 0 & 2/7 \\ 2 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right)\) である。