行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を有理数体 \(\mathbb{Q}\) において簡約化し、簡約化を与えるための正則行列を求めよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 \\ {-}1 & {-}3 & {-}4 & 3 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}2 & {-}3 & 3 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & 0 & 2\end{array}\right] \]

解答

（行）基本変形は、左から基本行列をかけることである。行列 \(A\) に１回基本変形を行って、行列 \(B\) になったとすると、\(A\) にその基本変形に対応した基本行列を左からかけると \(B\) になる。つまり、ある基本行列 \(C\) で \(CA=B\) と表される。簡約行列を得るまで基本変形を繰り返すのが簡約化なので、行列 \(A\) を簡約化して簡約行列 \(B\) が得られたなら、ある正則行列 \(C\) で \(CA=B\) と表される。簡約行列 \(B\) と正則行列 \(C\) を求めるのがこの問題である。そこで \(A\) の右側に \(A\) の行数のサイズの単位行列を並べた行列 \((A\ E)\) を考え、行基本変形により、\(A\) の部分のみを簡約化する。前半の \(A\) の部分は \(B\) に簡約化されるので、ある正則行列 \(C\) で \(CA=B\) と表せる。行基本変形により、行列 \((A\ E)\) の右側にも左側と同じ基本変形が行われるので、右側も左から正則行列 \(C\) をかけた行列になる。右側は単位行列であったから、そこに \(C\) が現れることになる。つまり、\((A\ E)\) を \(A\) が簡約化されるまで基本変形を行えば良い。 有理数体上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 5)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}1 & {-}3 & {-}4 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}2 & {-}3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}1 & {-}3 & {-}4 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}2 & {-}3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \]

I : (1,1) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}{-}1 & {-}3 & {-}4 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}2 & {-}3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 4 & {-}3 & 0 & 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}2 & {-}3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分（主成分）を使って第1列の他の成分を０にする : \( [0,0,{-}1,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 4 & {-}3 & 0 & 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}2 & {-}3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 4 & {-}3 & 0 & 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & {-}6 & 3 & 0 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & {-}3 & 2 & 0 & {-}1 & 0 & 1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 5)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

I : (2,2) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 4 & {-}3 & 0 & 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & {-}2 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & {-}6 & 3 & 0 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & {-}3 & 2 & 0 & {-}1 & 0 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 4 & {-}3 & 0 & 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & {-}6 & 3 & 0 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & {-}3 & 2 & 0 & {-}1 & 0 & 1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分（主成分）を使って第2列の他の成分を０にする : \( [3,0,6,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 3 & 4 & {-}3 & 0 & 0 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2 & {-}6 & 3 & 0 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & {-}3 & 2 & 0 & {-}1 & 0 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 10 & {-}3 & 3/2 & 3/2 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & {-}6 & 6 & 3 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & {-}3 & 3 & 1 & {-}1 & 0 & 1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 5)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 10 & {-}3 & 3/2 & 3/2 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & {-}6 & 6 & 3 & {-}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & {-}3 & 3 & 1 & {-}1 & 0 & 1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 10 & {-}3 & 3/2 & 3/2 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & {-}3 & 3 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 14 & {-}6 & 6 & 3 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right] \]

I : (3,3) 成分を１にする
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 10 & {-}3 & 3/2 & 3/2 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & {-}3 & 3 & 1 & {-}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 14 & {-}6 & 6 & 3 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 10 & {-}3 & 3/2 & 3/2 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & {-}3/7 & 3/7 & 1/7 & {-}1/7 & 0 & 1/7 \\ 0 & 0 & 14 & {-}6 & 6 & 3 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分（主成分）を使って第3列の他の成分を０にする : \( [10,{-}2,0,14] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 10 & {-}3 & 3/2 & 3/2 & {-}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {-}2 & 0 & {-}1/2 & {-}1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & {-}3/7 & 3/7 & 1/7 & {-}1/7 & 0 & 1/7 \\ 0 & 0 & 14 & {-}6 & 6 & 3 & {-}1 & 1 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rwr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}wr{25pt}@{}}1 & 0 & 0 & 9/7 & {-}39/14 & 1/14 & 3/7 & 0 & {-}10/7 \\ 0 & 1 & 0 & {-}6/7 & 5/14 & {-}3/14 & {-}2/7 & 0 & 2/7 \\ 0 & 0 & 1 & {-}3/7 & 3/7 & 1/7 & {-}1/7 & 0 & 1/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & {-}2\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 5)

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

第5列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [0]

(3, 5): 最終列 (5) まで手続き完了。終了する

以上より、簡約行列は \(\left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1 & 0 & 0 & 9/7 & {-}39/14 \\ 0 & 1 & 0 & {-}6/7 & 5/14 \\ 0 & 0 & 1 & {-}3/7 & 3/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\) で、簡約化を与える正則行列は \(\left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}1/14 & 3/7 & 0 & {-}10/7 \\ {-}3/14 & {-}2/7 & 0 & 2/7 \\ 1/7 & {-}1/7 & 0 & 1/7 \\ 1 & 1 & 1 & {-}2\end{array}\right]\) である。