行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}3 & 1 & {-}3 & {-}3 \\ 4 & t{-}1 & 3 & 3 \\ {-}4 & 0 & t{-}2 & {-}3 \\ 3 & 1 & 1 & t{+}3\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第1行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}3 & 1 & {-}3 & {-}3 \\ 4 & t{-}1 & 3 & 3 \\ {-}4 & 0 & t{-}2 & {-}3 \\ 3 & 1 & 1 & t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 1 & 1 & t{+}3 \\ 4 & t{-}1 & 3 & 3 \\ {-}4 & 0 & t{-}2 & {-}3 \\ t{-}3 & 1 & {-}3 & {-}3\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1,{-}2,t/3{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 1 & 1 & t{+}3 \\ 4 & t{-}1 & 3 & 3 \\ {-}4 & 0 & t{-}2 & {-}3 \\ t{-}3 & 1 & {-}3 & {-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 1 & 1 & t{+}3 \\ 1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 2 & 2 & t & 2t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3\end{array}\right] \]

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}3 & 1 & 1 & t{+}3 \\ 1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 2 & 2 & t & 2t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 3 & 1 & 1 & t{+}3 \\ 2 & 2 & t & 2t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,3,2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 3 & 1 & 1 & t{+}3 \\ 2 & 2 & t & 2t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 0 & 7{-}3t & {-}5 & 4t{+}3 \\ 0 & 6{-}2t & t{-}4 & 4t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 0 & 7{-}3t & {-}5 & 4t{+}3 \\ 0 & 6{-}2t & t{-}4 & 4t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3 \\ 0 & 6{-}2t & t{-}4 & 4t{+}3 \\ 0 & 7{-}3t & {-}5 & 4t{+}3\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}3,0,6,9] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & 2 & {-}t \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3 \\ 0 & 6{-}2t & t{-}4 & 4t{+}3 \\ 0 & 7{-}3t & {-}5 & 4t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 4 & {-}t{-}4 & t({-}t{-}1) \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3 \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & {-}11 & 3t{+}13 & 3t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 4 & {-}t{-}4 & t({-}t{-}1) \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3 \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & {-}11 & 3t{+}13 & 3t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 4 & {-}t{-}4 & t({-}t{-}1) \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3 \\ 0 & {-}11 & 3t{+}13 & 3t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,t/18{-}1/3,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 4 & {-}t{-}4 & {-}t(t{+}1) \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 2{-}t/3 & {-}t/3{-}2 & {-}t^2/3 \\ 0 & {-}11 & 3t{+}13 & 3t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}6 & 3t{+}8 & 2t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [2,0,0,5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 2t{+}4 & t^2{+}3t{+}3 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & {-}5 & 5 & t^2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}4t{-}2 & {-}t^2{-}5t{-}3 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}4t{-}2 & {-}t^2{-}5t{-}3 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}4t{-}2 & {-}t^2{-}5t{-}3 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [4/15,{-}1/5,0,t/90{-}1/45] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}4t{-}2 & {-}t^2{-}5t{-}3 \\ 0 & {-}1 & 3t{+}3 & t^2{+}4t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15 \\ 0 & 0 & {-}t^2/6{+}2t/9{+}2/3 & {-}t^3/9{+}t^2/9{+}7t/6{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2/3 & t^2/15{+}t/3{+}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t^2/5 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15 \\ 0 & 0 & 4/9 & {-}t^3/15{+}11t^2/45{+}8t/9{+}2/3\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2/3 & t^2/15{+}t/3{+}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t^2/5 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15 \\ 0 & 0 & 4/9 & {-}t^3/15{+}11t^2/45{+}8t/9{+}2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2/3 & t^2/15{+}t/3{+}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t^2/5 \\ 0 & 0 & 4/9 & {-}t^3/15{+}11t^2/45{+}8t/9{+}2/3 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1,2,0,{-}135t/4{-}45/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2/3 & t^2/15{+}t/3{+}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t^2/5 \\ 0 & 0 & 4/9 & {-}t^3/15{+}11t^2/45{+}8t/9{+}2/3 \\ 0 & 0 & {-}15t{-}10 & {-}4t^2{-}20t{-}15\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2/9 & t^3/15{-}8t^2/45{-}5t/9{+}1/3 \\ 0 & {-}1 & 1/9 & 2t^3/15{-}13t^2/45{-}16t/9{-}4/3 \\ 0 & 0 & 4/9 & {-}t^3/15{+}11t^2/45{+}8t/9{+}2/3 \\ 0 & 0 & 0 & 9t({-}t^3{+}3t^2{+}14t{+}10)/4\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2/9 & t^3/15{-}8t^2/45{-}5t/9{+}1/3 \\ 0 & {-}1 & 1/9 & 2t^3/15{-}13t^2/45{-}16t/9{-}4/3 \\ 0 & 0 & 4/9 & {-}t^3/15{+}11t^2/45{+}8t/9{+}2/3 \\ 0 & 0 & 0 & 9t({-}t^3{+}3t^2{+}14t{+}10)/4\end{array}\right]\]