行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{+}1 & {-}4 & 0 & {-}1 \\ {-}2 & t{+}2 & {-}1 & {-}1 \\ 3 & 0 & t{+}2 & 3 \\ {-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第1行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{+}1 & {-}4 & 0 & {-}1 \\ {-}2 & t{+}2 & {-}1 & {-}1 \\ 3 & 0 & t{+}2 & 3 \\ {-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ {-}2 & t{+}2 & {-}1 & {-}1 \\ 3 & 0 & t{+}2 & 3 \\ t{+}1 & {-}4 & 0 & {-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2,{-}3,{-}t{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ {-}2 & t{+}2 & {-}1 & {-}1 \\ 3 & 0 & t{+}2 & 3 \\ t{+}1 & {-}4 & 0 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & t{+}2 & 1 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & {-}4 & {-}t{-}1 & t^2{-}2\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & t{+}2 & 1 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & {-}4 & {-}t{-}1 & t^2{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}t{-}1 & t^2{-}2 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & t{+}2 & 1 & 1{-}2t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t/4{-}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}t{-}1 & t^2{-}2 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & t{+}2 & 1 & 1{-}2t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}t{-}1 & t^2{-}2 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & 0 & {-}(t{+}1)(t{+}2)/4{+}1 & t(t^2{+}2t{-}10)/4\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1,0,{-}t/4{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}t{-}1 & t^2{-}2 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & 0 & {-}(t{+}1)(t{+}2)/4{+}1 & t(t^2{+}2t{-}10)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & t^2{+}3t{-}2 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & 0 & {-}1/2 & t(t^2{+}5t{+}2)/4\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & t^2{+}3t{-}2 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t \\ 0 & 0 & {-}1/2 & t(t^2{+}5t{+}2)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & t^2{+}3t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1/2 & t(t^2{+}5t{+}2)/4 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [2,4,0,2{-}2t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & t{-}1 \\ 0 & {-}4 & {-}2 & t^2{+}3t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1/2 & t(t^2{+}5t{+}2)/4 \\ 0 & 0 & t{-}1 & 3t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & {-}t^3/2{-}5t^2/2{-}1 \\ 0 & {-}4 & 0 & {-}t^3{-}4t^2{+}t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1/2 & t(t^2{+}5t{+}2)/4 \\ 0 & 0 & 0 & t((t{-}1)(t^2{+}5t{+}2){+}6)/2\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & {-}t^3/2{-}5t^2/2{-}1 \\ 0 & {-}4 & 0 & {-}t^3{-}4t^2{+}t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1/2 & t(t^2{+}5t{+}2)/4 \\ 0 & 0 & 0 & t((t{-}1)(t^2{+}5t{+}2){+}6)/2\end{array}\right]\]