行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{+}1 & 1 & {-}1 & 0 \\ 2 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ {-}1 & 1 & 0 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第1行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{+}1 & 1 & {-}1 & 0 \\ 2 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ {-}1 & 1 & 0 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 1 & 0 & t \\ 2 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ t{+}1 & 1 & {-}1 & 0\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}2,0,{-}t{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 1 & 0 & t \\ 2 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ t{+}1 & 1 & {-}1 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 1 & 0 & t \\ 0 & t{+}1 & {-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & t{+}2 & {-}1 & t(t{+}1)\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 1 & 0 & t \\ 0 & t{+}1 & {-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & t{+}2 & {-}1 & t(t{+}1)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 1 & 0 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & t{+}1 & {-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & t{+}2 & {-}1 & t(t{+}1)\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,{-}t/2{-}1/2,{-}t/2{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 1 & 0 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & t{+}1 & {-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & t{+}2 & {-}1 & t(t{+}1)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t{+}1 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & (t{+}1)^2/2{-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & 0 & t(t{+}3)/2 & t(t{+}1)\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t{+}1 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & (t{+}1)^2/2{-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & 0 & t(t{+}3)/2 & t(t{+}1)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t{+}1 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & (t{+}1)^2/2{-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t{+}1 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & (t{+}1)^2/2{-}1 & 2t{+}1 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t{+}1 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & (t{+}1)^2/2{-}1 & 2t{+}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [2,2,0,t{+}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t{+}1 & t \\ 0 & {-}2 & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & (t{+}1)^2/2{-}1 & 2t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & {-}2t^2{+}3t{+}2 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}2t^2{+}2t{+}2 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^3{+}4t{+}2\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & {-}2t^2{+}3t{+}2 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}2t^2{+}2t{+}2 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^3{+}4t{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & {-}2t^2{+}3t{+}2 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}2t^2{+}2t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^3{+}4t{+}2 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t/2{-}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & {-}2t^2{+}3t{+}2 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}2t^2{+}2t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^3{+}4t{+}2 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2{-}t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & {-}2t^2{+}3t{+}2 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}2t^2{+}2t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^3{+}4t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^3{-}t^2{+}6t{+}4)/2\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & 0 & {-}2t^2{+}3t{+}2 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}2t^2{+}2t{+}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^3{+}4t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^3{-}t^2{+}6t{+}4)/2\end{array}\right]\]