行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}2 & {-}3 & 0 & 0 \\ {-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ 1 & 3 & t & {-}1 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}2 & {-}3 & 0 & 0 \\ {-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ 1 & 3 & t & {-}1 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ t{-}2 & {-}3 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & t & {-}1 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2{-}t,{-}1,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ t{-}2 & {-}3 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & t & {-}1 \\ {-}1 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & (t{-}2)(t{-}1){-}3 & 2{-}t & 0 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1 \\ 0 & 1{-}t & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & (t{-}2)(t{-}1){-}3 & 2{-}t & 0 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1 \\ 0 & 1{-}t & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1 \\ 0 & (t{-}2)(t{-}1){-}3 & 2{-}t & 0 \\ 0 & 1{-}t & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [1,0,t{-}5,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1 \\ 0 & (t{-}2)(t{-}1){-}3 & 2{-}t & 0 \\ 0 & 1{-}t & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}3 & {-}t & 1 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1 \\ 0 & 9 & {-}t^2{+}5t{-}3 & t{-}5 \\ 0 & 3 & t & t{-}2\end{array}\right] \]

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}3 & {-}t & 1 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1 \\ 0 & 9 & {-}t^2{+}5t{-}3 & t{-}5 \\ 0 & 3 & t & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}3 & {-}t & 1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 9 & {-}t^2{+}5t{-}3 & t{-}5 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,3,t/3{+}2/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}3 & {-}t & 1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 9 & {-}t^2{+}5t{-}3 & t{-}5 \\ 0 & t{+}2 & t{-}1 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}2t{-}3 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}2t{-}3 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}2t{-}3 & 1{-}2t\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3 \\ 0 & 0 & {-}t^2{+}2t{-}3 & 1{-}2t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2)\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2) \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,1,0,1/3{-}t/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & t & t{-}2 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2) \\ 0 & 0 & {-}t^2/3{+}t/3{-}1 & 1/3{-}t^2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 0 & {-}t(t{-}2){+}t{-}2 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2) \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^2/3{+}t(t{-}2)(t{-}1)/3{+}1/3\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 0 & {-}t(t{-}2){+}t{-}2 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2) \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^2/3{+}t(t{-}2)(t{-}1)/3{+}1/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 0 & {-}t(t{-}2){+}t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^2/3{+}t(t{-}2)(t{-}1)/3{+}1/3 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2)\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 0 & {-}t(t{-}2){+}t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^2/3{+}t(t{-}2)(t{-}1)/3{+}1/3 \\ 0 & 0 & t & t(t{-}2)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 0 & {-}t(t{-}2){+}t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^2/3{+}t(t{-}2)(t{-}1)/3{+}1/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}4t^2{+}5t{-}5)/3\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 0 & {-}t(t{-}2){+}t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}1 & {-}t^2/3{+}t(t{-}2)(t{-}1)/3{+}1/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}4t^2{+}5t{-}5)/3\end{array}\right]\]