行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ {-}2 & 1 & 2 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第1行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ {-}2 & 1 & 2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 1 & 2 & t \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ t{-}1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1/2{-}t/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 1 & 2 & t \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ t{-}1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 1 & 2 & t \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & t/2{-}1/2 & t{-}1 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 1 & 2 & t \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & t/2{-}1/2 & t{-}1 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 1 & 2 & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & t/2{-}1/2 & t{-}1 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [1,0,t{-}1,t/2{-}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 1 & 2 & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & t{-}1 & 1 & {-}1 \\ 0 & t/2{-}1/2 & t{-}1 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{+}3 & {-}1 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{+}3 & {-}1 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{+}3 & {-}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{+}3 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1/2,{-}1/2,0,t/4{+}1/8] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}t & t \\ 0 & 1 & t{+}2 & 0 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1 \\ 0 & 0 & t(1{-}t)/2 & t(t{-}1)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}3/2 & t^2/2{+}t/2{+}1/2 \\ 0 & 1 & 7/2 & {-}t^2/2{+}t/2{-}1/2 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1 \\ 0 & 0 & {-}3/8 & t^3/4{+}3t^2/8{-}3t/8{+}1/8\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}3/2 & t^2/2{+}t/2{+}1/2 \\ 0 & 1 & 7/2 & {-}t^2/2{+}t/2{-}1/2 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1 \\ 0 & 0 & {-}3/8 & t^3/4{+}3t^2/8{-}3t/8{+}1/8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}3/2 & t^2/2{+}t/2{+}1/2 \\ 0 & 1 & 7/2 & {-}t^2/2{+}t/2{-}1/2 \\ 0 & 0 & {-}3/8 & t^3/4{+}3t^2/8{-}3t/8{+}1/8 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [4,{-}10,0,16t/3{-}8] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & {-}3/2 & t^2/2{+}t/2{+}1/2 \\ 0 & 1 & 7/2 & {-}t^2/2{+}t/2{-}1/2 \\ 0 & 0 & {-}3/8 & t^3/4{+}3t^2/8{-}3t/8{+}1/8 \\ 0 & 0 & 3{-}2t & {-}t^2{+}t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 0 & t({-}t^2{-}t{+}2) \\ 0 & 1 & {-}1/4 & 5t^3/2{+}13t^2/4{-}13t/4{+}3/4 \\ 0 & 0 & {-}3/8 & t^3/4{+}3t^2/8{-}3t/8{+}1/8 \\ 0 & 0 & 0 & 4t({-}t^3{+}3t{-}2)/3\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 0 & t({-}t^2{-}t{+}2) \\ 0 & 1 & {-}1/4 & 5t^3/2{+}13t^2/4{-}13t/4{+}3/4 \\ 0 & 0 & {-}3/8 & t^3/4{+}3t^2/8{-}3t/8{+}1/8 \\ 0 & 0 & 0 & 4t({-}t^3{+}3t{-}2)/3\end{array}\right]\]