行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ {-}3 & 3 & t{+}1 & 2 \\ {-}4 & 6 & 2 & t{+}3\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ {-}3 & 3 & t{+}1 & 2 \\ {-}4 & 6 & 2 & t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ t{-}1 & 3 & 1 & 1 \\ {-}3 & 3 & t{+}1 & 2 \\ {-}4 & 6 & 2 & t{+}3\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t/2{-}1/2,{-}2,{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ t{-}1 & 3 & 1 & 1 \\ {-}3 & 3 & t{+}1 & 2 \\ {-}4 & 6 & 2 & t{+}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t \\ 1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t \\ 1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t \\ 2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,0,2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t \\ 2 & t{-}5 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t \\ 0 & 9{-}3t & 1{-}2t & 2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t \\ 0 & 9{-}3t & 1{-}2t & 2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 9{-}3t & 1{-}2t & 2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [1,0,{-}3/2,1{-}t/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2t{-}7 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 9{-}3t & 1{-}2t & 2 \\ 0 & {-}(t{-}5)(t{-}1)/2{+}3 & t/2{+}1/2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2 \\ 0 & 9/2 & t/2{+}1/2 & t^2/4{-}t/4{+}1\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2 \\ 0 & 9/2 & t/2{+}1/2 & t^2/4{-}t/4{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 9/2 & t/2{+}1/2 & t^2/4{-}t/4{+}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,2t/3{-}4/3,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2 \\ 0 & 2t{-}4 & 0 & t{-}1 \\ 0 & 9/2 & t/2{+}1/2 & t^2/4{-}t/4{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3 \\ 0 & 3 & 1{-}2t & 3t/2{+}1/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1/7,{-}5/14,0,62/147{-}4t/21] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t & t/2{-}1/2 \\ 0 & 3/2 & 5t/2{-}1/2 & t^2/4{-}7t/4{+}1/2 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2 \\ 0 & 0 & 2(t{-}2)(2t{-}1)/3 & {-}t^2{+}8t/3{-}1/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}2/7 & t^2/14{-}3t/14{-}3/7 \\ 0 & 3/2 & 3/14 & t^2/14{+}t/28{+}9/28 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2 \\ 0 & 0 & 24/49 & {-}2t^3/21{+}8t^2/49{+}68t/147{-}6/49\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}2/7 & t^2/14{-}3t/14{-}3/7 \\ 0 & 3/2 & 3/14 & t^2/14{+}t/28{+}9/28 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2 \\ 0 & 0 & 24/49 & {-}2t^3/21{+}8t^2/49{+}68t/147{-}6/49\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}2/7 & t^2/14{-}3t/14{-}3/7 \\ 0 & 3/2 & 3/14 & t^2/14{+}t/28{+}9/28 \\ 0 & 0 & 24/49 & {-}2t^3/21{+}8t^2/49{+}68t/147{-}6/49 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,0,49/12{-}343t/24] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}2/7 & t^2/14{-}3t/14{-}3/7 \\ 0 & 3/2 & 3/14 & t^2/14{+}t/28{+}9/28 \\ 0 & 0 & 24/49 & {-}2t^3/21{+}8t^2/49{+}68t/147{-}6/49 \\ 0 & 0 & 2{-}7t & {-}t^2/2{+}5t{-}1/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 10/49 & {-}2t^3/21{+}23t^2/98{+}73t/294{-}27/49 \\ 0 & 3/2 & 3/14 & t^2/14{+}t/28{+}9/28 \\ 0 & 0 & 24/49 & {-}2t^3/21{+}8t^2/49{+}68t/147{-}6/49 \\ 0 & 0 & 0 & 49t({-}t^3{+}2t^2{+}4t{+}1)/36\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 10/49 & {-}2t^3/21{+}23t^2/98{+}73t/294{-}27/49 \\ 0 & 3/2 & 3/14 & t^2/14{+}t/28{+}9/28 \\ 0 & 0 & 24/49 & {-}2t^3/21{+}8t^2/49{+}68t/147{-}6/49 \\ 0 & 0 & 0 & 49t({-}t^3{+}2t^2{+}4t{+}1)/36\end{array}\right]\]