行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left(\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{+}2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 0 & t & 0 & {-}1 \\ 2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t\end{array}\right) \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{+}2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 0 & t & 0 & {-}1 \\ 2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & t & 0 & {-}1 \\ t{+}2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t\end{array}\right) \]

III : (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,0,t/2{+}1,0] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & t & 0 & {-}1 \\ t{+}2 & {-}2 & 1 & 1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & t & 0 & {-}1 \\ 0 & t/2{-}1 & {-}t^2/2{-}t{+}1 & t/2{+}2 \\ 0 & {-}1 & 1 & t\end{array}\right) \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & t & 0 & {-}1 \\ 0 & t/2{-}1 & {-}t^2/2{-}t{+}1 & t/2{+}2 \\ 0 & {-}1 & 1 & t\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & t/2{-}1 & {-}t^2/2{-}t{+}1 & t/2{+}2 \\ 0 & t & 0 & {-}1\end{array}\right) \]

III : (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [1,0,1{-}t/2,{-}t] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & t/2{-}1 & {-}t^2/2{-}t{+}1 & t/2{+}2 \\ 0 & t & 0 & {-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & 0 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & 0 & {-}t^2/2{-}t/2 & t^2/2{-}t/2{+}2 \\ 0 & 0 & t & t^2{-}1\end{array}\right) \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & 0 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & 0 & {-}t^2/2{-}t/2 & t^2/2{-}t/2{+}2 \\ 0 & 0 & t & t^2{-}1\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & 0 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & 0 & t & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & {-}t^2/2{-}t/2 & t^2/2{-}t/2{+}2\end{array}\right) \]

III : (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1,0,0,{-}t/2{-}1/2] \)
\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & 0 & t{-}1 & {-}t{-}1 \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & 0 & t & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & {-}t^2/2{-}t/2 & t^2/2{-}t/2{+}2\end{array}\right) \quad \to \quad \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & 0 & {-}1 & {-}t^2{-}t \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & 0 & t & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t^3/2{+}t^2{-}t{+}3/2\end{array}\right) \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left(\begin{array}{@{}rrrr@{}}2 & 0 & {-}1 & {-}t^2{-}t \\ 0 & {-}1 & 1 & t \\ 0 & 0 & t & t^2{-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t^3/2{+}t^2{-}t{+}3/2\end{array}\right)\]