行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{+}1 & {-}2 & 1 & 1 \\ 1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ {-}1 & {-}1 & t{-}2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{+}1 & {-}2 & 1 & 1 \\ 1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ {-}1 & {-}1 & t{-}2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ t{+}1 & {-}2 & 1 & 1 \\ {-}1 & {-}1 & t{-}2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t{+}1,{-}1,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ t{+}1 & {-}2 & 1 & 1 \\ {-}1 & {-}1 & t{-}2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ 0 & {-}t^2{+}2t{+}1 & 2t{+}3 & {-}4t{-}3 \\ 0 & t{-}4 & t{-}4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ 0 & {-}t^2{+}2t{+}1 & 2t{+}3 & {-}4t{-}3 \\ 0 & t{-}4 & t{-}4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & t{-}4 & t{-}4 & 6 \\ 0 & {-}t^2{+}2t{+}1 & 2t{+}3 & {-}4t{-}3\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [t/2{-}3/2,0,t/2{-}2,{-}t^2/2{+}t{+}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}3 & {-}2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & t{-}4 & t{-}4 & 6 \\ 0 & {-}t^2{+}2t{+}1 & 2t{+}3 & {-}4t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1{-}t & 4{-}(t{-}3)^2/2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & 0 & 0 & t(7{-}t)/2 \\ 0 & 0 & t^2{+}2 & t^3/2{-}5t^2/2{-}3t/2{-}3/2\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1{-}t & 4{-}(t{-}3)^2/2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & 0 & 0 & t(7{-}t)/2 \\ 0 & 0 & t^2{+}2 & t^3/2{-}5t^2/2{-}3t/2{-}3/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1{-}t & 4{-}(t{-}3)^2/2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t^2{+}2 & t^3/2{-}5t^2/2{-}3t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t(7{-}t)/2\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

III : 第4行の (4,4) 成分を使って第4列の他の成分を小さくする : \( [1,0,{-}t{-}2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1{-}t & 4{-}(t{-}3)^2/2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t^2{+}2 & t^3/2{-}5t^2/2{-}3t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t(7{-}t)/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1{-}t & {-}t/2{-}1/2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t^2{+}2 & 11t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t(7{-}t)/2\end{array}\right] \]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1{-}t & {-}t/2{-}1/2 \\ 0 & 2 & 2 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t^2{+}2 & 11t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t(7{-}t)/2\end{array}\right]\]