行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t & {-}1 & 1 & 1 \\ 1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ {-}1 & 2 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}1 & 3 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & {-}1 & 1 & 1 \\ 1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ {-}1 & 2 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}1 & 3 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ t & {-}1 & 1 & 1 \\ {-}1 & 2 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}1 & 3 & t\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t,{-}1,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ t & {-}1 & 1 & 1 \\ {-}1 & 2 & t{-}1 & {-}2 \\ 0 & {-}1 & 3 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ 0 & {-}t(t{-}2){-}1 & t{+}1 & 1{-}3t \\ 0 & t & t{-}2 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & t\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ 0 & {-}t(t{-}2){-}1 & t{+}1 & 1{-}3t \\ 0 & t & t{-}2 & 1 \\ 0 & {-}1 & 3 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & t & t{-}2 & 1 \\ 0 & {-}t(t{-}2){-}1 & t{+}1 & 1{-}3t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [2{-}t,0,{-}t,t^2{-}2t{+}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{-}2 & {-}1 & 3 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & t & t{-}2 & 1 \\ 0 & {-}t(t{-}2){-}1 & t{+}1 & 1{-}3t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 3t{-}7 & t(t{-}2){+}3 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & 0 & 4t{-}2 & t^2{+}1 \\ 0 & 0 & {-}3t^2{+}7t{-}2 & {-}t^3{+}2t^2{-}4t{+}1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [3/4,0,0,11/8{-}3t/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 3t{-}7 & t(t{-}2){+}3 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & 0 & 4t{-}2 & t^2{+}1 \\ 0 & 0 & {-}3t^2{+}7t{-}2 & {-}t^3{+}2t^2{-}4t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}11/2 & t^2/4{-}2t{+}9/4 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & 0 & 4t{-}2 & t^2{+}1 \\ 0 & 0 & 3/4 & {-}t^3/4{+}5t^2/8{-}13t/4{-}3/8\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}11/2 & t^2/4{-}2t{+}9/4 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & 0 & 4t{-}2 & t^2{+}1 \\ 0 & 0 & 3/4 & {-}t^3/4{+}5t^2/8{-}13t/4{-}3/8\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}11/2 & t^2/4{-}2t{+}9/4 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & 0 & 3/4 & {-}t^3/4{+}5t^2/8{-}13t/4{-}3/8 \\ 0 & 0 & 4t{-}2 & t^2{+}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}8,4,0,16t/3{-}8/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}11/2 & t^2/4{-}2t{+}9/4 \\ 0 & {-}1 & 3 & t \\ 0 & 0 & 3/4 & {-}t^3/4{+}5t^2/8{-}13t/4{-}3/8 \\ 0 & 0 & 4t{-}2 & t^2{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1/2 & {-}2t^3{+}21t^2/4{-}28t{-}3/4 \\ 0 & {-}1 & 0 & t^3{-}5t^2/2{+}14t{+}3/2 \\ 0 & 0 & 3/4 & {-}t^3/4{+}5t^2/8{-}13t/4{-}3/8 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}3t^2{+}15t{-}5)/3\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 1/2 & {-}2t^3{+}21t^2/4{-}28t{-}3/4 \\ 0 & {-}1 & 0 & t^3{-}5t^2/2{+}14t{+}3/2 \\ 0 & 0 & 3/4 & {-}t^3/4{+}5t^2/8{-}13t/4{-}3/8 \\ 0 & 0 & 0 & 4t(t^3{-}3t^2{+}15t{-}5)/3\end{array}\right]\]