行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1 \\ 1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1 \\ 1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1 \\ t{-}2 & 1 & 1 & 1 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & t\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,0,t{-}2,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1 \\ t{-}2 & 1 & 1 & 1 \\ {-}1 & {-}1 & {-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1 \\ 0 & 2t{-}3 & 1{-}(t{-}2)^2 & t{-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1 \\ 0 & 2t{-}3 & 1{-}(t{-}2)^2 & t{-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 2t{-}3 & 1{-}(t{-}2)^2 & t{-}1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,1{-}2t/3,1/3{-}t/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 2t{-}3 & 1{-}(t{-}2)^2 & t{-}1 \\ 0 & t{-}1 & 0 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t)/3 & 2t(t{-}1)/3 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1)/3 & (t{-}1)^2/3{-}1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t)/3 & 2t(t{-}1)/3 \\ 0 & 0 & (t{-}3)(t{-}1)/3 & (t{-}1)^2/3{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t)/3 & 2t(t{-}1)/3 \\ 0 & 0 & 1{-}t/3 & t^2{-}4t/3{-}2/3\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t)/3 & 2t(t{-}1)/3 \\ 0 & 0 & 1{-}t/3 & t^2{-}4t/3{-}2/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 0 & 1{-}t/3 & t^2{-}4t/3{-}2/3 \\ 0 & 0 & t(3{-}t)/3 & 2t(t{-}1)/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}3,{-}3,0,t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}3 & t{-}3 & t{-}1 \\ 0 & 0 & 1{-}t/3 & t^2{-}4t/3{-}2/3 \\ 0 & 0 & t(3{-}t)/3 & 2t(t{-}1)/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 1 & 3t^2{-}4t{-}3 \\ 0 & {-}3 & 0 & 3t^2{-}3t{-}3 \\ 0 & 0 & 1{-}t/3 & t^2{-}4t/3{-}2/3 \\ 0 & 0 & 0 & t^2(2{-}t)\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}2 & 1 & 3t^2{-}4t{-}3 \\ 0 & {-}3 & 0 & 3t^2{-}3t{-}3 \\ 0 & 0 & 1{-}t/3 & t^2{-}4t/3{-}2/3 \\ 0 & 0 & 0 & t^2(2{-}t)\end{array}\right]\]