行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & 1 & {-}2 & 1 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ {-}1 & 2 & 0 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 1 & {-}2 & 1 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ {-}1 & 2 & 0 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ t{-}1 & 1 & {-}2 & 1 \\ {-}1 & 2 & 0 & t\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,0,t{-}1,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ t{-}1 & 1 & {-}2 & 1 \\ {-}1 & 2 & 0 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & 2 & t{+}1 & t{-}2\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & 2 & t{+}1 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & 2 & t{+}1 & t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,t{-}1,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & t{-}1 & {-}1 & 1 \\ 0 & 2 & t{+}1 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & 0 & (t{-}1)(t^2{+}1){-}1 & t(3{-}2t) \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & 0 & (t{-}1)(t^2{+}1){-}1 & t(3{-}2t) \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t \\ 0 & 0 & (t{-}1)(t^2{+}1){-}1 & t(3{-}2t)\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1/2,0,t/2{-}3/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & {-}t^2{-}1 & 2t{-}1 \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t \\ 0 & 0 & (t{-}1)(t^2{+}1){-}1 & t(3{-}2t)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & t/2{+}1/2 & t/2{-}1 \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & t/2{+}1/2 & t/2{-}1 \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & t/2{+}1/2 & t/2{-}1 \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4 \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [4,2,0,8t{-}4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & t{+}1 & {-}2 \\ 0 & 1 & t/2{+}1/2 & t/2{-}1 \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4 \\ 0 & 0 & 2t^2{+}t{+}3 & {-}3t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t(2t{-}3){-}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4 \\ 0 & 0 & 4 & 4t^2(t{-}2)\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t(2t{-}3){-}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4 \\ 0 & 0 & 4 & 4t^2(t{-}2)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t(2t{-}3){-}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & 4 & 4t^2(t{-}2) \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/16{+}1/16] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t(2t{-}3){-}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & 4 & 4t^2(t{-}2) \\ 0 & 0 & t/4{+}1/4 & t(3{-}2t)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t(2t{-}3){-}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & 4 & 4t^2(t{-}2) \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^3{+}t^2{+}3)/4\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t(2t{-}3){-}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^2{-}t{-}1 \\ 0 & 0 & 4 & 4t^2(t{-}2) \\ 0 & 0 & 0 & t({-}t^3{+}t^2{+}3)/4\end{array}\right]\]