行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}2 & 1 & 0 & {-}1 \\ 1 & t & {-}1 & 0 \\ 1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 2 & {-}1 & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}2 & 1 & 0 & {-}1 \\ 1 & t & {-}1 & 0 \\ 1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 2 & {-}1 & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}1 & 0 \\ t{-}2 & 1 & 0 & {-}1 \\ 1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 2 & {-}1 & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t{-}2,1,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}1 & 0 \\ t{-}2 & 1 & 0 & {-}1 \\ 1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 2 & {-}1 & {-}1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}1 & 0 \\ 0 & {-}t(t{-}2){+}1 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}1 & 0 \\ 0 & {-}t(t{-}2){+}1 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}1 & 0 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}t(t{-}2){+}1 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,t{-}3,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t & {-}1 & 0 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}t(t{-}2){+}1 & t{-}2 & {-}1 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 1 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}2 & {-}t^2{+}3t{+}1 & t{-}4 \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}2 & {-}t^2{+}3t{+}1 & t{-}4 \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & {-}2 & {-}t^2{+}3t{+}1 & t{-}4 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,{-}2,{-}t{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}1 & t & {-}1 \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & {-}2 & {-}t^2{+}3t{+}1 & t{-}4 \\ 0 & {-}t{-}1 & t{+}1 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t{-}1 & t \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{-}1 & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & 2t({-}t{-}1) & t(t{+}2)\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t{-}1 & t \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{-}1 & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & {-}2t(t{+}1) & t(t{+}2)\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t{-}1 & t \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{-}1 & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & 2 & t^2{-}4t{+}4\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t{-}1 & t \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{-}1 & 3t{-}2 \\ 0 & 0 & 2 & t^2{-}4t{+}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t{-}1 & t \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & 2 & t^2{-}4t{+}4 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{-}1 & 3t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}t/2{-}1/2,{-}t{-}1/2,0,{-}t^2/2{-}t/2{-}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}t{-}1 & t \\ 0 & 1 & {-}2t{-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & 2 & t^2{-}4t{+}4 \\ 0 & 0 & {-}t^2{-}t{-}1 & 3t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t^3/2{-}3t^2/2{+}t{+}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^3{-}7t^2/2{+}3t{+}3 \\ 0 & 0 & 2 & t^2{-}4t{+}4 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}3t^2{+}t{+}6)/2\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 0 & t^3/2{-}3t^2/2{+}t{+}2 \\ 0 & 1 & 0 & t^3{-}7t^2/2{+}3t{+}3 \\ 0 & 0 & 2 & t^2{-}4t{+}4 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}3t^2{+}t{+}6)/2\end{array}\right]\]