行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t & {-}2 & {-}3 & 0 \\ {-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ {-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 1 & {-}2 & {-}1 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & {-}2 & {-}3 & 0 \\ {-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ {-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 1 & {-}2 & {-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ t & {-}2 & {-}3 & 0 \\ {-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 1 & {-}2 & {-}1 & t\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}t,1,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ t & {-}2 & {-}3 & 0 \\ {-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 1 & {-}2 & {-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ 0 & t(t{-}4){-}2 & {-}7t{-}3 & t \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & t{-}6 & {-}8 & t{+}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ 0 & t(t{-}4){-}2 & {-}7t{-}3 & t \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & t{-}6 & {-}8 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & t(t{-}4){-}2 & {-}7t{-}3 & t \\ 0 & t{-}6 & {-}8 & t{+}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,{-}t,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{-}4 & {-}7 & 1 \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & t(t{-}4){-}2 & {-}7t{-}3 & t \\ 0 & t{-}6 & {-}8 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t\end{array}\right] \]

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,t/2{-}2,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & 4{-}t & t{+}5 & {-}1 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & 0 & {-}t^3/2{+}3t^2{-}3t/2{-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & 0 & {-}t^3/2{+}3t^2{-}3t/2{-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t \\ 0 & 0 & {-}t^3/2{+}3t^2{-}3t/2{-}1 & {-}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1,0,t/2{-}3/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t^2{-}2t{-}3 & 0 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t \\ 0 & 0 & {-}t^3/2{+}3t^2{-}3t/2{-}1 & {-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1/3,1/3,0,8/9{-}t/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t{-}2 & 0 \\ 0 & {-}2 & t{-}3 & t \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/3 & t(t{-}3)/6{+}1/3 \\ 0 & {-}2 & {-}8/3 & t^2/6{+}t/2{+}1/3 \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1 \\ 0 & 0 & 8/9 & t{-}(3t{-}8)(t(t{-}3){+}2)/18\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/3 & t(t{-}3)/6{+}1/3 \\ 0 & {-}2 & {-}8/3 & t^2/6{+}t/2{+}1/3 \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1 \\ 0 & 0 & 8/9 & t{-}(3t{-}8)(t(t{-}3){+}2)/18\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/3 & t(t{-}3)/6{+}1/3 \\ 0 & {-}2 & {-}8/3 & t^2/6{+}t/2{+}1/3 \\ 0 & 0 & 8/9 & t{-}(3t{-}8)(t(t{-}3){+}2)/18 \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}2,{-}3,0,27t/8{-}9/8] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/3 & t(t{-}3)/6{+}1/3 \\ 0 & {-}2 & {-}8/3 & t^2/6{+}t/2{+}1/3 \\ 0 & 0 & 8/9 & t{-}(3t{-}8)(t(t{-}3){+}2)/18 \\ 0 & 0 & 3t{-}1 & {-}t(t{-}3)/2{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 1/9 & {-}t^3/3{+}37t^2/18{-}11t/6{+}19/9 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}t^3/2{+}3t^2{-}3t/2{+}3 \\ 0 & 0 & 8/9 & t{-}(3t{-}8)(t(t{-}3){+}2)/18 \\ 0 & 0 & 0 & 9t(t^3{-}6t^2{+}5t{-}4)/16\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 1/9 & {-}t^3/3{+}37t^2/18{-}11t/6{+}19/9 \\ 0 & {-}2 & 0 & {-}t^3/2{+}3t^2{-}3t/2{+}3 \\ 0 & 0 & 8/9 & t{-}(3t{-}8)(t(t{-}3){+}2)/18 \\ 0 & 0 & 0 & 9t(t^3{-}6t^2{+}5t{-}4)/16\end{array}\right]\]