行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t & 1 & 2 & {-}3 \\ 1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & {-}2 & t{-}1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & t{-}4\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & 1 & 2 & {-}3 \\ 1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & {-}2 & t{-}1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ t & 1 & 2 & {-}3 \\ {-}1 & {-}2 & t{-}1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & t{-}4\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t,{-}1,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ t & 1 & 2 & {-}3 \\ {-}1 & {-}2 & t{-}1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & {-}t(t{+}1){+}1 & t{+}2 & {-}3 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & 1{-}t & 2 & t{-}4\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & {-}t(t{+}1){+}1 & t{+}2 & {-}3 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & 1{-}t & 2 & t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & {-}t(t{+}1){+}1 & t{+}2 & {-}3 \\ 0 & 1{-}t & 2 & t{-}4\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [1,0,{-}t{-}2,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & {-}1 & 0 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & {-}t(t{+}1){+}1 & t{+}2 & {-}3 \\ 0 & 1{-}t & 2 & t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2 & 1{-}t & {-}3 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & 0 & t & t{-}1\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2 & 1{-}t & {-}3 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & 0 & t & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2 & 1{-}t & {-}3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & 0 & t & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}2,0,1{-}t,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 2 & 1{-}t & {-}3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & t{-}1 & t{-}2 & 3 \\ 0 & 0 & t & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2t^2{+}t{-}3 & 6t{+}3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & 0 & t(t^2{-}2) & 3t^2 \\ 0 & 0 & t & t{-}1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2t^2{+}t{-}3 & 6t{+}3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & 0 & t(t^2{-}2) & 3t^2 \\ 0 & 0 & t & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2t^2{+}t{-}3 & 6t{+}3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & 0 & t & t{-}1 \\ 0 & 0 & t(t^2{-}2) & 3t^2\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [2t{+}1,t{+}1,0,t^2{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 2t^2{+}t{-}3 & 6t{+}3 \\ 0 & {-}1 & t^2{+}t{-}2 & 3t{+}3 \\ 0 & 0 & t & t{-}1 \\ 0 & 0 & t(t^2{-}2) & 3t^2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}3 & {-}2t^2{+}7t{+}4 \\ 0 & {-}1 & {-}2 & {-}t^2{+}3t{+}4 \\ 0 & 0 & t & t{-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 3t^2{-}(t{-}1)(t^2{-}2)\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}3 & {-}2t^2{+}7t{+}4 \\ 0 & {-}1 & {-}2 & {-}t^2{+}3t{+}4 \\ 0 & 0 & t & t{-}1 \\ 0 & 0 & 0 & 3t^2{-}(t{-}1)(t^2{-}2)\end{array}\right]\]