行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t & 3 & 1 & {-}3 \\ {-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ {-}2 & 2 & {-}1 & t{-}3\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & 3 & 1 & {-}3 \\ {-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ {-}2 & 2 & {-}1 & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ t & 3 & 1 & {-}3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ {-}2 & 2 & {-}1 & t{-}3\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}t,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ t & 3 & 1 & {-}3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ {-}2 & 2 & {-}1 & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ 0 & t(t{+}1){+}3 & 1 & {-}2t{-}3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & {-}2t & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ 0 & t(t{+}1){+}3 & 1 & {-}2t{-}3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & {-}2t & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & t(t{+}1){+}3 & 1 & {-}2t{-}3 \\ 0 & {-}2t & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}t/3{-}1/3,0,{-}t^2/3{-}t/3{-}1,2t/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & 0 & {-}2 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & t(t{+}1){+}3 & 1 & {-}2t{-}3 \\ 0 & {-}2t & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t(t{+}1)/3 & 2t/3{-}4/3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & t(t^2{+}t{+}3)/3{+}1 & 2t^2/3{-}4t/3{-}1 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t(t{+}1)/3 & 2t/3{-}4/3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & t(t^2{+}t{+}3)/3{+}1 & 2t^2/3{-}4t/3{-}1 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t(t{+}1)/3 & 2t/3{-}4/3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3 \\ 0 & 0 & t(t^2{+}t{+}3)/3{+}1 & 2t^2/3{-}4t/3{-}1\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}1/2,0,0,{-}t/2{-}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t(t{+}1)/3 & 2t/3{-}4/3 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3 \\ 0 & 0 & t(t^2{+}t{+}3)/3{+}1 & 2t^2/3{-}4t/3{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t/3{-}1/2 & t/2{-}5/6 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t/3{-}1/2 & t/2{-}5/6 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t/3{-}1/2 & t/2{-}5/6 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [2/3,2,0,4/3{-}4t/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t/3{-}1/2 & t/2{-}5/6 \\ 0 & {-}3 & t & 2 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2 \\ 0 & 0 & {-}2t^2/3{-}1 & 1{-}t/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/6 & {-}t^2/3{+}7t/6{-}1/2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}t^2{+}2t{+}3 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2 \\ 0 & 0 & {-}5/3 & 2t^3/3{-}2t^2{+}t/3{+}5/3\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/6 & {-}t^2/3{+}7t/6{-}1/2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}t^2{+}2t{+}3 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2 \\ 0 & 0 & {-}5/3 & 2t^3/3{-}2t^2{+}t/3{+}5/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/6 & {-}t^2/3{+}7t/6{-}1/2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}t^2{+}2t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}5/3 & 2t^3/3{-}2t^2{+}t/3{+}5/3 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,{-}3t/10{-}3/10] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/6 & {-}t^2/3{+}7t/6{-}1/2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}t^2{+}2t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}5/3 & 2t^3/3{-}2t^2{+}t/3{+}5/3 \\ 0 & 0 & t/2{+}1/2 & t^2/2{-}t{-}1/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/6 & {-}t^2/3{+}7t/6{-}1/2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}t^2{+}2t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}5/3 & 2t^3/3{-}2t^2{+}t/3{+}5/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}2t^2{-}2)/5\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}5/6 & {-}t^2/3{+}7t/6{-}1/2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & {-}t^2{+}2t{+}3 \\ 0 & 0 & {-}5/3 & 2t^3/3{-}2t^2{+}t/3{+}5/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}2t^2{-}2)/5\end{array}\right]\]