行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & {-}2 & {-}1 & 0 \\ 1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ {-}2 & 1 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & {-}2 & {-}1 & 0 \\ 1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ {-}2 & 1 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ t{-}1 & {-}2 & {-}1 & 0 \\ {-}2 & 1 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,t{-}1,{-}2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ t{-}1 & {-}2 & {-}1 & 0 \\ {-}2 & 1 & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ 0 & {-}t^2{-}1 & 1{-}2t & 2{-}2t \\ 0 & 2t{+}3 & t{+}5 & 4 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ 0 & {-}t^2{-}1 & 1{-}2t & 2{-}2t \\ 0 & 2t{+}3 & t{+}5 & 4 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 2t{+}3 & t{+}5 & 4 \\ 0 & {-}t^2{-}1 & 1{-}2t & 2{-}2t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}t/3{-}1/3,0,{-}2t/3{-}1,t^2/3{+}1/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & t{+}1 & 2 & 2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 2t{+}3 & t{+}5 & 4 \\ 0 & {-}t^2{-}1 & 1{-}2t & 2{-}2t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 5/3{-}t/3 & (t{+}1)^2/3{+}2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & t/3{+}4 & (t{+}1)(2t{+}3)/3{+}4 \\ 0 & 0 & t^2/3{-}2t{+}4/3 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/3{+}5/3\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,0,t{-}18] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 5/3{-}t/3 & (t{+}1)^2/3{+}2 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & t/3{+}4 & (t{+}1)(2t{+}3)/3{+}4 \\ 0 & 0 & t^2/3{-}2t{+}4/3 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/3{+}5/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 17/3 & t^2{+}7t/3{+}22/3 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & t/3{+}4 & (t{+}1)(2t{+}3)/3{+}4 \\ 0 & 0 & 220/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}68t/3{+}275/3\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 17/3 & t^2{+}7t/3{+}22/3 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & t/3{+}4 & (t{+}1)(2t{+}3)/3{+}4 \\ 0 & 0 & 220/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}68t/3{+}275/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 17/3 & t^2{+}7t/3{+}22/3 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & 220/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}68t/3{+}275/3 \\ 0 & 0 & t/3{+}4 & (t{+}1)(2t{+}3)/3{+}4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1,0,t/220{+}3/55] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 17/3 & t^2{+}7t/3{+}22/3 \\ 0 & {-}3 & {-}1 & t{+}1 \\ 0 & 0 & 220/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}68t/3{+}275/3 \\ 0 & 0 & t/3{+}4 & (t{+}1)(2t{+}3)/3{+}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 17/3 & t^2{+}7t/3{+}22/3 \\ 0 & {-}3 & 217/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}71t/3{+}278/3 \\ 0 & 0 & 220/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}68t/3{+}275/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{+}2t^2{+}4t{+}3)/220\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & 17/3 & t^2{+}7t/3{+}22/3 \\ 0 & {-}3 & 217/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}71t/3{+}278/3 \\ 0 & 0 & 220/3 & {-}t^3{+}10t^2{+}68t/3{+}275/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{+}2t^2{+}4t{+}3)/220\end{array}\right]\]