行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}4 & 5 & {-}4 & 0 \\ {-}3 & t{+}2 & {-}2 & {-}1 \\ 1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ {-}1 & 3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}4 & 5 & {-}4 & 0 \\ {-}3 & t{+}2 & {-}2 & {-}1 \\ 1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ {-}1 & 3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ {-}3 & t{+}2 & {-}2 & {-}1 \\ t{-}4 & 5 & {-}4 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \]

III : (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}3,t{-}4,{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ {-}3 & t{+}2 & {-}2 & {-}1 \\ t{-}4 & 5 & {-}4 & 0 \\ {-}1 & 3 & {-}1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ 0 & t{-}7 & 3t{+}7 & {-}4 \\ 0 & 3t{-}7 & {-}t^2{+}t{+}8 & t{-}4 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零最小元を探す [2]

III : (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,3,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ 0 & t{-}7 & 3t{+}7 & {-}4 \\ 0 & 3t{-}7 & {-}t^2{+}t{+}8 & t{-}4 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ 0 & t{-}7 & 3t{+}7 & {-}4 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \]

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ 0 & t{-}7 & 3t{+}7 & {-}4 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & t{-}7 & 3t{+}7 & {-}4 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \]

III : (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,t/14{-}1/2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & {-}3 & t{+}3 & {-}1 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & t{-}7 & 3t{+}7 & {-}4 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & {-}t^2{-}7t{-}10 & t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & 0 & t^3/14{+}t^2/14{-}t/14{+}1/2 & {-}t^2/14{-}t/14 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & {-}t^2{-}7t{-}10 & t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & 0 & t^3/14{+}t^2/14{-}t/14{+}1/2 & {-}t^2/14{-}t/14 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & {-}t^2{-}7t{-}10 & t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t \\ 0 & 0 & t^3/14{+}t^2/14{-}t/14{+}1/2 & {-}t^2/14{-}t/14\end{array}\right] \]

III : (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}t{-}5,{-}t{-}6,0,t^2/14{-}t/14{+}1/14] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & {-}t^2{-}7t{-}10 & t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}t^2{-}8t{-}13 & t{+}8 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t \\ 0 & 0 & t^3/14{+}t^2/14{-}t/14{+}1/2 & {-}t^2/14{-}t/14\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & 0 & t^2{+}6t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}1 & t^2{+}7t{+}8 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t \\ 0 & 0 & 5/14 & {-}t^3/14{-}t/7\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & 0 & t^2{+}6t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}1 & t^2{+}7t{+}8 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t \\ 0 & 0 & 5/14 & {-}t^3/14{-}t/7\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & 0 & t^2{+}6t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}1 & t^2{+}7t{+}8 \\ 0 & 0 & 5/14 & {-}t^3/14{-}t/7 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \]

III : (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}3,0,14t/5{+}28/5] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & 0 & t^2{+}6t{+}7 \\ 0 & 14 & {-}1 & t^2{+}7t{+}8 \\ 0 & 0 & 5/14 & {-}t^3/14{-}t/7 \\ 0 & 0 & t{+}2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & 0 & t^2{+}6t{+}7 \\ 0 & 14 & 1/14 & {-}3t^3/14{+}t^2{+}46t/7{+}8 \\ 0 & 0 & 5/14 & {-}t^3/14{-}t/7 \\ 0 & 0 & 0 & t^4/5{+}2t^3/5{+}2t^2/5{+}9t/5\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 11 & 0 & t^2{+}6t{+}7 \\ 0 & 14 & 1/14 & {-}3t^3/14{+}t^2{+}46t/7{+}8 \\ 0 & 0 & 5/14 & {-}t^3/14{-}t/7 \\ 0 & 0 & 0 & t^4/5{+}2t^3/5{+}2t^2/5{+}9t/5\end{array}\right]\]