行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{+}1 & 2 & {-}1 & 2 \\ {-}2 & t & {-}1 & 1 \\ {-}2 & 0 & t & 1 \\ {-}2 & 0 & 1 & t{+}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{+}1 & 2 & {-}1 & 2 \\ {-}2 & t & {-}1 & 1 \\ {-}2 & 0 & t & 1 \\ {-}2 & 0 & 1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & t & {-}1 & 1 \\ t{+}1 & 2 & {-}1 & 2 \\ {-}2 & 0 & t & 1 \\ {-}2 & 0 & 1 & t{+}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}t/2{-}1/2,1,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & t & {-}1 & 1 \\ t{+}1 & 2 & {-}1 & 2 \\ {-}2 & 0 & t & 1 \\ {-}2 & 0 & 1 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & t & {-}1 & 1 \\ 0 & t(t{+}1)/2{+}2 & {-}t/2{-}3/2 & t/2{+}5/2 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}t & 2 & t\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & t & {-}1 & 1 \\ 0 & t(t{+}1)/2{+}2 & {-}t/2{-}3/2 & t/2{+}5/2 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & {-}t & 2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & t & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & t(t{+}1)/2{+}2 & {-}t/2{-}3/2 & t/2{+}5/2 \\ 0 & {-}t & 2 & t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,{-}t/2{-}1/2,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & t & {-}1 & 1 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & t(t{+}1)/2{+}2 & {-}t/2{-}3/2 & t/2{+}5/2 \\ 0 & {-}t & 2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \]

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,{-}t/2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & {-}t & t{+}1 & 0 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & t^3/4{+}t^2/4{+}t/2{+}1 & t(t{+}5)/4 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & t^3/4{+}t^2/4{+}t/2{+}1 & t(t{+}5)/4 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t \\ 0 & 0 & t^3/4{+}t^2/4{+}t/2{+}1 & t(t{+}5)/4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,{-}t/2{-}1,0,{-}t^2/4{-}t/2{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & t & 1 \\ 0 & 2 & t^2/2{+}t/2{-}1 & t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t \\ 0 & 0 & t^3/4{+}t^2/4{+}t/2{+}1 & t(t{+}5)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 1 & t{+}1 \\ 0 & 2 & 0 & t(t{+}2)/2{+}t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t \\ 0 & 0 & 2 & t(t^2{+}3t{+}9)/4\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 1 & t{+}1 \\ 0 & 2 & 0 & t(t{+}2)/2{+}t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t \\ 0 & 0 & 2 & t(t^2{+}3t{+}9)/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 1 & t{+}1 \\ 0 & 2 & 0 & t(t{+}2)/2{+}t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 2 & t(t^2{+}3t{+}9)/4 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,1/2{-}t/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 1 & t{+}1 \\ 0 & 2 & 0 & t(t{+}2)/2{+}t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 2 & t(t^2{+}3t{+}9)/4 \\ 0 & 0 & 1{-}t & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 1 & t{+}1 \\ 0 & 2 & 0 & t(t{+}2)/2{+}t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 2 & t(t^2{+}3t{+}9)/4 \\ 0 & 0 & 0 & t((t{-}1)(t^2{+}3t{+}9){+}8)/8\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & 0 & 1 & t{+}1 \\ 0 & 2 & 0 & t(t{+}2)/2{+}t/2{+}5/2 \\ 0 & 0 & 2 & t(t^2{+}3t{+}9)/4 \\ 0 & 0 & 0 & t((t{-}1)(t^2{+}3t{+}9){+}8)/8\end{array}\right]\]