行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & {-}2 & 0 & {-}2 \\ {-}3 & t{-}2 & 2 & {-}1 \\ {-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & {-}2 & 0 & {-}2 \\ {-}3 & t{-}2 & 2 & {-}1 \\ {-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ {-}3 & t{-}2 & 2 & {-}1 \\ t{-}1 & {-}2 & 0 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1,1/2{-}t/2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ {-}3 & t{-}2 & 2 & {-}1 \\ t{-}1 & {-}2 & 0 & {-}2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ {-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ {-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ {-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2,0,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ {-}2 & {-}2 & t{+}1 & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ 0 & {-}2t{-}2 & 3t{-}1 & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ 0 & {-}2t{-}2 & 3t{-}1 & {-}1 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & {-}2t{-}2 & 3t{-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1,0,2,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 1{-}t & 0 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & {-}2t{-}2 & 3t{-}1 & {-}1 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t^2/2{-}t{+}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [{-}1/2,{-}1/2,0,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t^2/2{-}t{+}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & {-}t{-}1 & t^2/2{-}1/2 & {-}t/2{-}3/2 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t/2{+}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & {-}t{-}1 & 3t/2{-}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

III : 第4行の (4,4) 成分を使って第4列の他の成分を小さくする : \( [0,0,1,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t/2{+}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & {-}t{-}1 & 3t/2{-}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & t{+}2 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t/2{+}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & {-}t{-}1 & 3t/2{-}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & 3 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right] \]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1 & t/2{+}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & {-}t{-}1 & 3t/2{-}1/2 & {-}1/2 \\ 0 & 0 & t(3{-}t) & 3 \\ 0 & 0 & 0 & t{-}1\end{array}\right]\]