行列の計算例題（簡約化）

例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{-}1 & 0 & 1 & 1 \\ {-}1 & t & 0 & 2 \\ {-}3 & {-}2 & t{+}2 & 0 \\ {-}2 & {-}1 & 2 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{-}1 & 0 & 1 & 1 \\ {-}1 & t & 0 & 2 \\ {-}3 & {-}2 & t{+}2 & 0 \\ {-}2 & {-}1 & 2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 0 & 2 \\ t{-}1 & 0 & 1 & 1 \\ {-}3 & {-}2 & t{+}2 & 0 \\ {-}2 & {-}1 & 2 & t\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,1{-}t,3,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 0 & 2 \\ t{-}1 & 0 & 1 & 1 \\ {-}3 & {-}2 & t{+}2 & 0 \\ {-}2 & {-}1 & 2 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 0 & 2 \\ 0 & t(t{-}1) & 1 & 2t{-}1 \\ 0 & {-}3t{-}2 & t{+}2 & {-}6 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 0 & 2 \\ 0 & t(t{-}1) & 1 & 2t{-}1 \\ 0 & {-}3t{-}2 & t{+}2 & {-}6 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 0 & 2 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4 \\ 0 & {-}3t{-}2 & t{+}2 & {-}6 \\ 0 & t(t{-}1) & 1 & 2t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [{-}1/2,0,3/2,3/4{-}t/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t & 0 & 2 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4 \\ 0 & {-}3t{-}2 & t{+}2 & {-}6 \\ 0 & t(t{-}1) & 1 & 2t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1/2 & 1 & t/2 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4 \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2 \\ 0 & 3/4 & t{-}1/2 & t^2/2{-}3t/4{+}2\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1/2 & 1 & t/2 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4 \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2 \\ 0 & 3/4 & t{-}1/2 & t^2/2{-}3t/4{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1/2 & 1 & t/2 \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4 \\ 0 & 3/4 & t{-}1/2 & t^2/2{-}3t/4{+}2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [1,0,4t{+}2,{-}2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & {-}1/2 & 1 & t/2 \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2 \\ 0 & {-}2t{-}1 & 2 & t{-}4 \\ 0 & 3/4 & t{-}1/2 & t^2/2{-}3t/4{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4 \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2\end{array}\right] \]

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4 \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4 \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4 \\ 0 & {-}1/2 & t{-}1 & {-}3t/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1/5,{-}3/5,0,4t/5{+}6/25] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 2{-}t & 2t \\ 0 & {-}1/4 & 3t{-}5/2 & t^2/2{-}15t/4{+}2 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4 \\ 0 & 0 & {-}4t^2{+}2t{+}4 & 6t^2{+}4t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 6/5 & t^2/5{+}4t/5{+}4/5 \\ 0 & {-}1/4 & {-}1/10 & {-}t^2/10{-}3t/20{-}2/5 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4 \\ 0 & 0 & 76/25 & 4t^3/5{+}36t^2/25{+}144t/25{-}76/25\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 6/5 & t^2/5{+}4t/5{+}4/5 \\ 0 & {-}1/4 & {-}1/10 & {-}t^2/10{-}3t/20{-}2/5 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4 \\ 0 & 0 & 76/25 & 4t^3/5{+}36t^2/25{+}144t/25{-}76/25\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 6/5 & t^2/5{+}4t/5{+}4/5 \\ 0 & {-}1/4 & {-}1/10 & {-}t^2/10{-}3t/20{-}2/5 \\ 0 & 0 & 76/25 & 4t^3/5{+}36t^2/25{+}144t/25{-}76/25 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1,0,25/19{-}125t/76] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 6/5 & t^2/5{+}4t/5{+}4/5 \\ 0 & {-}1/4 & {-}1/10 & {-}t^2/10{-}3t/20{-}2/5 \\ 0 & 0 & 76/25 & 4t^3/5{+}36t^2/25{+}144t/25{-}76/25 \\ 0 & 0 & 4{-}5t & {-}t^2{+}6t{-}4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 6/5 & t^2/5{+}4t/5{+}4/5 \\ 0 & {-}1/4 & 147/50 & 4t^3/5{+}67t^2/50{+}561t/100{-}86/25 \\ 0 & 0 & 76/25 & 4t^3/5{+}36t^2/25{+}144t/25{-}76/25 \\ 0 & 0 & 0 & 25t(t^3{+}t^2{+}5t{-}5)/19\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 6/5 & t^2/5{+}4t/5{+}4/5 \\ 0 & {-}1/4 & 147/50 & 4t^3/5{+}67t^2/50{+}561t/100{-}86/25 \\ 0 & 0 & 76/25 & 4t^3/5{+}36t^2/25{+}144t/25{-}76/25 \\ 0 & 0 & 0 & 25t(t^3{+}t^2{+}5t{-}5)/19\end{array}\right]\]