行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{+}3 & {-}4 & {-}4 & 0 \\ 4 & t{-}3 & {-}2 & 1 \\ {-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 4 & {-}4 & {-}4 & t{+}1\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第1行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{+}3 & {-}4 & {-}4 & 0 \\ 4 & t{-}3 & {-}2 & 1 \\ {-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 4 & {-}4 & {-}4 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 4 & t{-}3 & {-}2 & 1 \\ t{+}3 & {-}4 & {-}4 & 0 \\ 4 & {-}4 & {-}4 & t{+}1\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}4,{-}t{-}3,{-}4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 4 & t{-}3 & {-}2 & 1 \\ t{+}3 & {-}4 & {-}4 & 0 \\ 4 & {-}4 & {-}4 & t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & t{-}3 & 4t{-}2 & {-}3 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

II : 第2行と第3行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & t{-}3 & 4t{-}2 & {-}3 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & t{-}3 & 4t{-}2 & {-}3 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,3/4{-}t/4,1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & t{-}3 & 4t{-}2 & {-}3 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & 0 & t^3/4{+}3t/4{+}1 & {-}t^2/4{-}3/4 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & 0 & t^3/4{+}3t/4{+}1 & {-}t^2/4{-}3/4 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t \\ 0 & 0 & t^3/4{+}3t/4{+}1 & {-}t^2/4{-}3/4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}1,0,{-}t/4{-}1/4] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & t(t{+}3){-}4 & {-}t{-}3 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t \\ 0 & 0 & t^3/4{+}3t/4{+}1 & {-}t^2/4{-}3/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1,4,0,2{-}t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t & {-}1 \\ 0 & {-}4 & 4t{-}4 & t{-}3 \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4 \\ 0 & 0 & t(1{-}t) & 2t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & {-}t^2/4{-}t/2{-}1/4 \\ 0 & {-}4 & {-}8 & t({-}t{-}1) \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4 \\ 0 & 0 & {-}2 & t^3/4{+}t/4{+}3/2\end{array}\right] \]

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & {-}t^2/4{-}t/2{-}1/4 \\ 0 & {-}4 & {-}8 & t({-}t{-}1) \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4 \\ 0 & 0 & {-}2 & t^3/4{+}t/4{+}3/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & {-}t^2/4{-}t/2{-}1/4 \\ 0 & {-}4 & {-}8 & t({-}t{-}1) \\ 0 & 0 & {-}2 & t^3/4{+}t/4{+}3/2 \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,4,0,{-}t/2{-}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & {-}t^2/4{-}t/2{-}1/4 \\ 0 & {-}4 & {-}8 & {-}t(t{+}1) \\ 0 & 0 & {-}2 & t^3/4{+}t/4{+}3/2 \\ 0 & 0 & t{+}1 & t^2/4{+}t/2{-}3/4\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & {-}t^2/4{-}t/2{-}1/4 \\ 0 & {-}4 & 0 & {-}t^3{-}t(t{+}1){-}t{-}6 \\ 0 & 0 & {-}2 & t^3/4{+}t/4{+}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{+}t^2{+}3t{+}11)/8\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & {-}1 & {-}t^2/4{-}t/2{-}1/4 \\ 0 & {-}4 & 0 & {-}t^3{-}t(t{+}1){-}t{-}6 \\ 0 & 0 & {-}2 & t^3/4{+}t/4{+}3/2 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{+}t^2{+}3t{+}11)/8\end{array}\right]\]