行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t{+}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ 1 & {-}3 & t{-}1 & 2 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [2]

II : 第1行と第2行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t{+}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ {-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ 1 & {-}3 & t{-}1 & 2 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ t{+}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ 1 & {-}3 & t{-}1 & 2 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,{-}t{-}1,{-}1,0] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ t{+}1 & 0 & {-}1 & 0 \\ 1 & {-}3 & t{-}1 & 2 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & (t{+}1)^2 & {-}t{-}2 & {-}2t{-}2 \\ 0 & t{-}2 & t{-}2 & 0 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & (t{+}1)^2 & {-}t{-}2 & {-}2t{-}2 \\ 0 & t{-}2 & t{-}2 & 0 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & t{-}2 & t{-}2 & 0 \\ 0 & (t{+}1)^2 & {-}t{-}2 & {-}2t{-}2\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [t/2{+}1/2,0,t/2{-}1,t^2/2{+}t{+}1/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & t{+}1 & {-}1 & {-}2 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & t{-}2 & t{-}2 & 0 \\ 0 & (t{+}1)^2 & {-}t{-}2 & {-}2t{-}2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t/2{-}1/2 & {-}t^2/2{+}t/2{-}1 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & {-}(t{-}2)^2/2 \\ 0 & 0 & t^2/2{-}3/2 & {-}t^3/2{-}t/2{-}1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1/3,0,0,t/3{+}2/3] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & t/2{-}1/2 & {-}t^2/2{+}t/2{-}1 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & {-}(t{-}2)^2/2 \\ 0 & 0 & t^2/2{-}3/2 & {-}t^3/2{-}t/2{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 1/2 & {-}t^2/3{-}t/6{-}1/3 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & {-}(t{-}2)^2/2 \\ 0 & 0 & 1/2 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/6{+}1/3\end{array}\right] \]

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第3行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 1/2 & {-}t^2/3{-}t/6{-}1/3 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & {-}(t{-}2)^2/2 \\ 0 & 0 & 1/2 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/6{+}1/3\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 1/2 & {-}t^2/3{-}t/6{-}1/3 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & 0 & 1/2 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & {-}(t{-}2)^2/2\end{array}\right] \]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [1,{-}3,0,3t{-}6] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 1/2 & {-}t^2/3{-}t/6{-}1/3 \\ 0 & 2 & {-}1 & t{-}2 \\ 0 & 0 & 1/2 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & 3t/2{-}3 & {-}(t{-}2)^2/2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t^3/3{+}t{-}2/3 \\ 0 & 2 & 1/2 & {-}t^3{-}t^2{-}5t/2{-}1 \\ 0 & 0 & 1/2 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}t^2{+}t{-}6)\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}{-}1 & 0 & 0 & t^3/3{+}t{-}2/3 \\ 0 & 2 & 1/2 & {-}t^3{-}t^2{-}5t/2{-}1 \\ 0 & 0 & 1/2 & {-}t^3/3{-}t^2/3{-}7t/6{+}1/3 \\ 0 & 0 & 0 & t(t^3{-}t^2{+}t{-}6)\end{array}\right]\]