行列の計算例題（簡約化）

　　　　　　　　　　


例題：次の行列を多項式環 \(\mathbb{C}[t]\) において簡約化せよ。

\[ \left[\begin{array}{@{}rwr{20pt}wr{20pt}wr{20pt}@{}}t & 2 & 1 & 2 \\ 2 & t{-}2 & {-}2 & {-}1 \\ 2 & 0 & t{-}1 & 1 \\ 1 & 0 & {-}1 & t\end{array}\right] \]

解答

１変数多項式環上の基本変形

loop start : (0, 0) : (4, 4)

第1列の、第1行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第1行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}t & 2 & 1 & 2 \\ 2 & t{-}2 & {-}2 & {-}1 \\ 2 & 0 & t{-}1 & 1 \\ 1 & 0 & {-}1 & t\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 2 & t{-}2 & {-}2 & {-}1 \\ 2 & 0 & t{-}1 & 1 \\ t & 2 & 1 & 2\end{array}\right] \]

III : 第1行の (1,1) 成分を使って第1列の他の成分を小さくする : \( [0,2,2,t] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 2 & t{-}2 & {-}2 & {-}1 \\ 2 & 0 & t{-}1 & 1 \\ t & 2 & 1 & 2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & t{-}2 & 0 & {-}2t{-}1 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & 2 & t{+}1 & 2{-}t^2\end{array}\right] \]

第1行まで手続き完了

loop start : (1, 1) : (4, 4)

第2列の、第2行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

II : 第2行と第4行を入れ替える
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & t{-}2 & 0 & {-}2t{-}1 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & 2 & t{+}1 & 2{-}t^2\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & 2 & t{+}1 & 2{-}t^2 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & t{-}2 & 0 & {-}2t{-}1\end{array}\right] \]

III : 第2行の (2,2) 成分を使って第2列の他の成分を小さくする : \( [0,0,0,t/2{-}1] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & 2 & t{+}1 & 2{-}t^2 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & t{-}2 & 0 & {-}2t{-}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & 2 & t{+}1 & 2{-}t^2 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & {-}t^2/2{+}t/2{+}1 & t^3/2{-}t^2{-}3t{+}1\end{array}\right] \]

第2行まで手続き完了

loop start : (2, 2) : (4, 4)

第3列の、第3行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [3]

III : 第3行の (3,3) 成分を使って第3列の他の成分を小さくする : \( [0,1,0,1{-}t/2] \)
\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & 2 & t{+}1 & 2{-}t^2 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & {-}t^2/2{+}t/2{+}1 & t^3/2{-}t^2{-}3t{+}1\end{array}\right] \quad \to \quad \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & 2 & 0 & {-}t^2{+}2t{+}1 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & 0 & t(t^2{-}4t{-}1)/2\end{array}\right] \]

第3行まで手続き完了

loop start : (3, 3) : (4, 4)

第4列の、第4行から第4行までで非零（絶対値）最小元を探す [4]

第4行まで手続き完了

(4, 4): 最終列 (4, 4) まで手続き完了。終了する

\[ \left[\begin{array}{@{}rrrr@{}}1 & 0 & {-}1 & t \\ 0 & 2 & 0 & {-}t^2{+}2t{+}1 \\ 0 & 0 & t{+}1 & 1{-}2t \\ 0 & 0 & 0 & t(t^2{-}4t{-}1)/2\end{array}\right]\]