行列の計算問題（双対空間）

　　　　　　

体 \(K\) 上の有限次元数ベクトル空間とその双対空間について、次の問いに答えよ。ただし、\(f_1,f_2, \cdots\) は、数ベクトル空間の標準基 \(e_1,e_2, \cdots\) の双対基とする。

[1] 数ベクトル空間の次の部分空間 \(W\) について、零化空間 \(W^\bot\) を求めよ。

[2] 数ベクトル空間の双対空間の次の部分空間 \(W\) について、被零化空間 \(W^\top\) を求めよ。

[3] \(V\) を数ベクトル空間の部分空間とする。\(V\) の基底を次で与えるとき、双対基を、数ベクトル空間の双対空間の基 \(f_1,f_2,\cdots\)（数ベクトル空間の標準基の双対基）で表せ。（ただし、\(V^\ast=\langle f_1,f_2,\cdots\rangle/V^\bot\) に注意せよ）

[4] 次のベクトルの組を基底とする線形空間 \(V\) において、\(g_1,g_2,\cdots\) をその基底の双対基とする。\(V\) の次の部分空間 \(W\) について、零化空間 \(W^\bot\) を求めよ。

[5] 次のベクトルの組を基底とする線形空間 \(V\) において、\(g_1,g_2,\cdots\) をその基底の双対基とする。双対空間 \(V^\ast\) の次の部分空間 \(W\) について、被零化空間 \(W^\top\) を求めよ。

[6] \(\mathbb{C}^4\) の次の部分線形空間 \(W_1,W_2\) について、共通部分と和空間の零化空間 \((W_1\cap W_2)^\bot, (W_1+W_2)^\bot\) を求めよ。

[7] \(\mathbb{C}^4\) の双対空間の次の部分線形空間 \(W_1,W_2\) について、共通部分と和空間の被零化空間 \((W_1\cap W_2)^\top, (W_1+W_2)^\top\) を求めよ。

答え

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]