| okamoto(@math.sci.osaka-u.ac.jp をつけてください) | |
| 研究分野 Research |
非線形偏微分方程式 Nonlinear partial differential equations |
| キーワード Keywords |
非線形シュレディンガー方程式、非線形波動方程式 Nonlinear Schrödinger equation, nonlinear wave equation |
| URL |
私の専門は非線形偏微分方程式です。特に、様々な波動現象を記述する非線形シュレディンガー方程式や非線形波動方程式などの非線形波動・分散型方程式の初期値問題について研究しています。初期値問題とは、ある時刻(初期時刻)での状態(初期値)が与えられたとき、微分方程式で記述されるモデルがどのように時間発展するかを決定する問題です。
非線形の問題では、解を具体的に表示することは一般にはできないため、解の存在を理論的に示すことになります。しかし、解の存在だけでは、初期値が小さく変化した時に、対応する解の変化が大きくなる場合もあり、物理モデルや方程式の解析において様々な困難が生じます。そのため、解の存在に加えて、解が初期値に関して連続的に依存することを保証する初期値問題の適切性が多くの場合には要求されます。
線形波動・分散型方程式の解は、周波数の大きい部分ほど速く広がるという特徴があります。そのため、時間発展による分散で生じる激しい振動をうまく解析に取り入れることにより、ある種の平滑化効果が得られます。さらに、各非線形項からどのような振動成分が発生するかを精確に捉えることで、非線形波動・分散型方程式の解析においても平滑化効果を利用することができます。
私は、このような分散性による平滑化効果を用いて、初期値問題の適切性に関する研究を行っています。最近では、解がどのように振る舞うかを調べる漸近挙動に関する問題や確率効果を含む問題にも興味を持っています。
