Seminars: 2024/04/01--2025/04/01

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本講演は二つのパートからなる。 まず前半では、私のプレプリント(arXiv:2208.01865)に関する話をする。このプレプリントの旧バージョンに関しては以前同セミナーで話させて頂いたが、今回はその内容を改善したものである。 （時間があれば）後半では、7次元以下、正リッチ曲率を持つ、非コンパクト、完備安定勾配リッチソリトンのスカラー曲率の下限が”そこまで大きくならない”ことを示す。

本講演では, 1次元の強反発的なデルタポテンシャルを持つ消散非線形クライン・ゴルドン方程式(DNKG)を考える. ポテンシャルのついていない場合においては, C\^{o}te-Martel-Yuan(2021)によって, (DNKG)の大域解はソリトンの重ね合わせ(0個の場合も含む)に漸近すること, さらにそのソリトンの重ね合わせは, 隣接するソリトンの符号が異なることを証明した. 本講演では, (DNKG)の大域解が(ポテンシャルがない場合と同様に)ソリトンの重ね合わせに漸近すること, そして(ポテンシャルがない場合には存在しなかった)同符号の2つのソリトンの重ね合わせに漸近する解が存在することを示す.

Heisenberg Bieberbach多様体とは、Heisenberg群とユニタリ群の半直積のdiscrete torsion-free部分群によるHeisenberg群のコンパクト商のことである。この講演では3次元Heisenberg Bieberbach多様体上のFolland-Stein作用素と呼ばれるCR幾何由来の微分作用素の固有値と固有空間について考察する。Heisenberg Bieberbach多様体が特にHeisenberg群の離散部分群によるコンパクト商であるときには、2004年にFollandによってFolland-Stein作用素の固有値と固有関数が明示的に求められている。Follandの手法を応用し、3次元Heisenberg Bieberbach多様体のいくつかの例に対してもFolland-Stein作用素の固有値と固有空間の次元を求めることができることを紹介する。

ヤグロム極限とは死滅をもつマルコフ過程に対するある種のエルゴード性を表す概念である. 本講演では, 負の跳びをもたない一次元ハント過程が流入条件（一次元拡散過程に対するフェラーの流入条件の一般化）を満たすとき, 単純な仮定の下で, スペクトルギャップの存在およびヤグロム極限への指数的収束が導かれることを紹介する.

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2次元Landau-Lifshitz-Gilbert(LLG)方程式におけるhelical stateと呼ばれる定常解まわりの解の時間減衰評価について考察する. LLG方程式は, 未知関数が$\mathbb{R}^3$の単位球面に値を取り, およそスカラー値における複素Ginzburg-Landau方程式に対応する方程式の構造を持つ. Helical stateは1次元方向に周期的に依存し, その他の変数について定数という特徴をもつ. 線形化解析ではOh-Zumbrum(2010)やJohnson-Zumbrun(2011)に倣い, Bloch-Floquet理論を用いた周波数分解を適用し, 低周波部における時間減衰評価と高周波部におけるエネルギー不等式を得る.

Given two natural numbers g and n, we look for the minimal total number of intersections - called crossing number - between n non-isotopic curves on the closed surface of genus g. The answer is not known except for special values of g and n. In this talk, we discuss known values, and present questions concerning the asymptotic behaviour of the crossing number for fixed g and large n, and also for large g and $n=g^{1+c}$.

Given two natural numbers g and n, we look for the minimal total number of intersections - called crossing number - between n non-isotopic curves on the closed surface of genus g. The answer is not known except for special values of g and n. In this talk, we discuss known values, and present questions concerning the asymptotic behaviour of the crossing number for fixed g and large n, and also for large g and $n=g^{1+c}$.

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We consider the Schrödinger equation with the cubic nonlinear term with respect to the complex conjugate of solutions and we assume that the cubic nonlinearity has the time growth of order $\nu$. We prove that if the order $\nu$ is in the between 0 and 1/16, and the data are odd, then the small amplitude solutions are stable in the neighborhood of the free solutions.

トロイダル群とは, その上で非定数な正則関数を持たない複素可換Lie群である. 一般に連結なトロイダル群は$n$次元複素ユークリッド空間をある離散部分群で割ったもので表せる. トロイダル群の (平坦直線束係数の) Dolbeaultコホモロジー群については, 風間や阿部らの結果がある. これらのコホモロジーは, 離散部分群の生成元たち (と直線束のモノドロミー) の無理数論的条件によって, コホモロジーが有限次元になる場合と, 無限次元non-Hausdorff空間になる場合を判別できる. 今回は, 以上の先行研究の結果を踏まえ, トロイダル群のコンパクト台付きのコホモロジーに関する事実を紹介する. 本研究は, 小池貴之氏との共同研究である.

抵抗距離空間は電気回路の一般化であり，ディリクレ形式の理論により測度付き抵抗距離空間には確率過程が定まる．Croydon-Hambly-Kumagai (2017)は収束する抵抗距離空間が一様体積倍化条件を満たすならば対応する確率過程とその局所時間が収束することを示した．その後Croydon (2018)はより弱い条件である非爆発条件の下で確率過程の収束を示したが，局所時間の収束については未解決のままであった．本講演では非爆発条件及び距離エントロピーに関する適当な条件の下で確率過程とその局所時間の収束が従うこと，そしてこの結果の応用例について解説する．

体 $K$ 上の楕円曲線 $E$ に対して, $n$-th division polynomial $F_n$ は $E$ の非自明な $n$ 等分点を零点, 原点を極にもつようなある有理関数である. Silvermanは $E$ 上の点 $P$ に対して $K$ の数列 $(F_n(P))$ を考察し, $K$ が $p$ 進体の場合にこの数列がある収束する部分列をもつことを示した. この講演では, この部分列の極限値が代数的 sigma 関数の特殊値を用いて明示的に 表されることを紹介する. 時間が許せば, elliptic divisibility sequence とよばれる整数列への応用や, その他の有理関数での類似についても紹介したい.

We prove global existence of $H^2$ solutions to the generalized derivative nonlinear Schrödinger equation on the torus. This answers an open problem posed by Ambrose and Simpson (2015). The key in the proof is to extract the terms that cause the problem in energy estimates and construct modified energies so as to cancel them out by effectively using integration by parts and the equation. This talk is based on a joint work with Tohru Ozawa and Nicola Visciglia.

The Kohn-Rossi cohomology is a CR analog of the Dolbeault cohomology and is one of fundamental invariants in CR geometry. In this talk, we prove some vanishing theorems for the Kohn-Rossi cohomology of some spherical CR manifolds. To this end, we use a canonical contact form defined via the Patterson-Sullivan measure and Weitzenböck-type formulae.

Let $q$ be a formal parameter. The left and right $q$-deformed rational numbers were introduced by Bapat, Becker and Licata via regular continued fractions, and the right $q$-deformed rational number is exactly $q$-deformed rational number considered by Morier-Genoud and Ovsienko. They gave a homological interpretation for left and right $q$-deformed rational numbers. Our goal is to provide an understanding of the above definitions and related results. In the first part, we will talk about the following. (1) The definition of the 2-CY category of type $A_n$ (denote by $\mathcal{C}_n$); (2) Spherical twist functor on $\mathcal{C}_n$ and how to compute it; (3) Braid relation of Spherical twist functor.

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$\mathbb{R}^3$上で定常解周りの非切断Boltzmann方程式を考察する。この方程式に関してはSobolev空間やBesov空間に初期値を取る解が先行研究によって知られていたが、近年Fourier変換の可積分性によって特徴づけられるノルムを用いた関数空間を解空間として用いることにより、先行研究より広いクラスで解の構成が可能であることが判明した。この結果について報告する。$\mathbb{T}^3$上の問題と比較した際の証明のアイディアは、今回考察する問題では方程式が持つ保存則だけでは低周波部分を制御できないため、適切な$L^p$空間を補助空間として用いることである。本研究はR.-J Duan (香港中文大学)及びY. Ueda (神戸大学)との共同研究による

詳しい内容は集会ホームページ https://masataka123.github.io/miniworkshop_Higgs/ をご覧ください.

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処罰問題とは、元の過程に重みをつけたものを正規化した確率過程の極限分布を考える問題である。特に処罰問題の特別な場合に条件付問題とよばれるものがある。本講演では重みとして異なる2点に対する局所時間を採用したレヴィ過程の処罰問題と、異なるn点にぶつからないという条件の下でのレヴィ過程の条件付問題について解説する。

超平面配置とは，ユークリッド空間内の超平面の有限集合のことである．超平面配置のトポロジーの問題意識として，「超平面たちの交わりの組合せ構造から補集合のトポロジーがどれくらいわかるか」というものがある．補集合のコホモロジー環が組合せ的に決まる一方で，Milnorファイバーを含む，補集合の被覆空間については1次のBetti数でさえ組合せ的に決まるかどうか未解決である．本講演ではこの問に関連し近年注目されている二重被覆や，特異点リンクに対応するMilnorファイバーの境界についての最近の進展について紹介したい．本講演内容は石橋卓氏(ARISE Analytics)と吉永正彦氏(大阪大学)との共同研究を含む．

一般化KdV方程式の初期値問題を周期境界条件下で考える。 一般化KdV方程式は、KdV方程式の非線形項の次数を高次のものに置き換えた方程式である。この方程式の初期値問題の適切性と解の無条件一意性について報告する。 評価が最も難しいのは、共鳴な非線形相互作用であり、これを双線形Strichartz型評価により処理する。 周期境界条件で考えるため、フーリエ空間における評価で好ましくない項が現れる。 本研究ではこれをスケール変換に着目した議論によって解消する。Luc Molinet氏（トゥール大学）との共同研究に基づく。

シンプレクティック多様体にいつケーラー構造が入るかという問題は古典的であり, 様々な必要条件が知られている. この問いの一般化として「局所共形シンプレクティック多様体にいつ局所共形ケーラー構造が入るか」があるが, これについては必要条件がほとんど知られていない. 本講演では, この問いについて強レフシェッツ性に注目して考察を行う. 局所共形シンプレクティック多様体における強レフシェッツ性の定義, その妥当性について, 具体的な計算例を挙げながら説明する.

Let $q$ be a formal parameter. The left and right $q$-deformed rational numbers were introduced by Bapat, Becker and Licata via regular continued fractions, and the right $q$-deformed rational number is exactly $q$-deformed rational number considered by Morier-Genoud and Ovsienko. They gave a homological interpretation for left and right \textit{q}-deformed rational numbers. Our goal is to provide an understanding of the above definitions and related results. In the second part, we will talk about the following. (1) Some examples on the 2-CY category of type $A_2$ (denote by $\mathcal{C}_2$); (2) Braid group actions on $\mathbb{Q}\cup \left\{\frac{1}{0}\right\}$ via $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$; (3) The definition of $q$-deformed rational numbers.

通常の（1パラメータの）パーシステンス加群が「バーコード」を持つことはよく知られている。ここでバーコードとは，「区間」の多重集合であり，元のパーシステンス加群の情報をよく保持している。一方，パラメータの数が2以上になると，一般にはバーコードを定義できないことが知られている。本講演では，Floer型のホモロジー（Morse, Novikov, Morse-Bott, Floer等）から自然に定まる2パラメータのパーシステンス加群は区間分解可能であり，付随するバーコードが長方形のみからなることを紹介する。また，従来の1パラメータの場合のバーコードからはスペクトル不変量やboundary depthといった不変量が得られていたが，それらの他にも2パラメータ独自の不変量が現れることを説明する。これらは小枝幹汰，矢代海音両氏（新潟大学）との共同研究に基づく。

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2次ジーゲルカスプ形式に対するスピノール $L$-関数の積分表示は Andrianov の古典的な結果が知られている。本講演では、square-free レベルの場合に新たに得られた明示的な積分表示を紹介し、ある種の変形された跡公式を用いることにより、スピノール $L$-関数の特殊値の重み付き平均値のレベルアスペクトに関する漸近公式について紹介する。その応用として、中心値の非消滅性、ヘッケ固有値の等分布性などを紹介する。本研究は都築正男氏との共同研究である。

¥mathbb{R}^d上のシュレディンガー方程式の基本解E(t,x,y)（初期値u_0(x)=¥delta_y(x)のときの解）の滑らかさについて考察する．基本解はシュレディンガー方程式に対応する古典力学と強く関係していると考えられている．実際，Fujiwara(1980)によってポテンシャルV(x)の増大度が2次以下ならば基本解が古典軌道を用いたファインマン経路積分で表示され，その系として|t|>0:十分小ならば基本解が(t,x,y)に関して滑らかであることが示されている．一方，V(x)の増大が優2次のとき，粒子の全エネルギーを大きくするにしたがって古典軌道の周期が短くなることから，基本解の滑らかさが失われると予想され，1次元のときにYajima(1996)によって基本解が至る所滑らかでないことが証明されている．本講演では，Yajima(1996)の結果を次元dが3以上でポテンシャルV(x)が球対称かつ増大度が優2次の場合に一般化し，基本解E(t,x,y)がgenericに至る所滑らかでないことを示す．今回発表する内容は加藤圭一氏（東京理科大学），中橋渉氏（東京理科大学）との共同研究に基づく．

dg圏とは、Hom集合が加群の複体の構造を持っているような圏（正確に言えば、加群の複体の圏Chで豊穣された豊穣圏）のことである。特にプレ三角なdg圏 A は、そのHom複体の0次コホモロジーを取ることによってプレ加法圏 H^0(A) が自然に三角圏の構造を持つことが知られており、三角圏の増強概念として代数幾何学や表現論で用いられている。 dg圏には擬同値と呼ばれる、通常の圏同値よりも弱い同値概念があり、すべてのdg圏は擬同値のもとで区別するべきとされる。擬同値に関するdg圏のホモトピー論は、dg圏の圏dgCat上の擬同値を弱同値とするモデル圏構造によって実現され、この構造を用いることで擬同値によるdgCatの局所化HodgCatが構成できる。局所化HodgCatは擬同値な射を同型にするものの中で最も普遍的な1圏である。 本講演では、HodgCatの自然な精密化となるような2圏（正確にはbicategory）を導入し、それにproarrow equipmentと呼ばれる付加構造を与えることによって、dg圏のホモトピー論に対して2圏論的なアプローチが可能となることを説明する。Proarrow equipmentは圏論を形式的に展開するための枠組みの一つで、この構造があると通常の圏論において基本的な概念である同値・随伴・極限等が定義できる。この理論を応用することで、dg圏のプレ三角性をある種の完備性として理解できることを解説する。

リーマン面上に正則微分の組が与えられると、Hitchin sectionに含まれるHiggs束を定義でき、それは自然な対称積を持っている。本講演では、Hitchin sectionに含まれる階数３のHiggs束について、スペクトル曲線が2重被覆になる条件の下で、対称積と整合的な調和計量の存在について説明する。特に$\mathbb{C}$や$\mathbb{C}^{\ast}$上の場合を扱う。

MCP（測度収縮性）は曲率次元条件の一種であり，サブリーマン／フィンスラー幾何学ではカルノー群がいつMCP(0,N)を満たすか，満たすとしてNはどんな値を取るか，が主な問となっている．今回はサブフィンスラーハイゼンベルグ群について，上記問題をノルムの正則性の観点から説明する．この話はS. Borza氏（SISSA），M. Magnabosco氏（Univ. Oxford），T. Rossi氏（Sorbonne Univ.）との共同研究に基づく．

Let q be a formal parameter. The left and right q-deformed rational numbers were introduced by Bapat, Becker and Licata via regular continued fractions, and the right q-deformed rational number is exactly q-deformed rational number considered by Morier-Genoud and Ovsienko. They gave a homological interpretation for left and right q-deformed rational numbers. Our goal is to provide an understanding of the above definitions and related results.

In this talk, we will present a brief introduction to the theory of Drinfeld modules, Anderson modules, and Anderson motives. These objects could be considered as function field analogues of elliptic curves, abelian varieties, and Tate mixed motives. We will then discuss the connection between these objects and special zeta values and multiple zeta values in the function field setting and state some recent results.

I will start with some introduction to Shimura varieties and their completed cohomology, and report on my joint work in progress with Lue Pan which shows that, in the rational p-adic completed cohomology of a general Shimura variety, "sufficiently regular" infinitesimal weights (whose meaning will be explained) can only show up in the middle degree. I will give some examples and explain the main ingredients in our work, if time permits.

弾性曲線の問題は古典的な変分問題の一つであるが、臨界点の安定性を議論する場合、付随する第二変分の計算は一般には非常に複雑になる。またその一般化である $p$-弾性曲線を考えると、エネルギーが二回微分不可能になる場合も自然に現れる。本講演では平面 $p$-弾性曲線を含む広いクラスの変分問題に対し、第二変分に基づかない "cut-and-paste trick" による安定性理論を紹介する。またこれにより、特に幾つかの境界条件において平面 $p$-弾性曲線の安定解の一意性が得られることを見る。本講演の内容は吉澤研介氏（長崎大学）との共同研究に基づく。

複素多様体 M上の実解析的ケーラー計量 gに対し，各点の周りでボホナー座標とよばれる標準的な複素座標系が ユニタリ線型変換を除いて一意的に定義される．とくに複素領域のベルグマン計量に付随するボホナー座標は ベルグマン座標とよばれ，領域の標準的な実現（代表領域実現）を与えるものとして知られている．一方， ケーラー計量 g を保存する自己双正則写像からなる群が多様体 M に推移的に作用するとき g は等質ケーラー計量という． 等質ケーラー計量が定義されている複素有界領域は必然的に有界等質領域となり，上半平面の多次元化であるジーゲル領域と 正則同値になる．本講演ではジーゲル領域上の等質ケーラー計量に関するボホナー座標は野村隆昭によって定義されたケイリー変換と 一致すること，さらに甲斐千舟の結果により，ボホナー座標による像が凸であるならば領域は計量に関して対称空間となることを説明する． これは「凸な有界等質領域は対称空間である」という Gindikin 予想に肯定的な証拠を与えるものといえる．

Generalized Tempered Stable (GTS) 過程とは，安定過程を一般化した確率過程である．本講演では，GTS過程がブラウン運動に収束するときに，GTS過程の2次変分が収束するような正規化スケールを明らかする．また，GTS過程とその2次変分との同時分布の極限分布の結果を紹介する．さらに，極限分布の結果の応用として，ブラック・ショールズモデル周辺の摂動モデルとして対数価格がGTS過程に従う金融資産価格モデルを考え，その摂動がインプライド・ボラティリティに与える影響をアット・ザ・マネーインプライド・ボラティリティの漸近展開を求めることで明らかにする．

Abstract: 4次元多様体の曲面の埋め込みがふたつ与えられたとき、これらが位相的にはアイソトピックだが滑らかにはアイソトピックでないときこれらをエキゾチック曲面対という。4次元多様体の中のエキゾチック曲面対の存在問題には多くの先行研究があるが、$S^4$ の中の閉曲面によるエキゾチック曲面対の先行研究は少ない。また, $S^4$内の標準的な$S^2$の埋め込みに関してエキゾチック曲面対の非存在はunknotting予想と呼ばれいまだに未解決である。 $S^4$ の中のエキゾチック曲面対の検出の困難さの一因は、滑らかにはアイソトピックでないことを示す手法の少なさにある。特に, $S^4$内の$S^2$や$\mathbb{R} P^2$の埋め込みに関して連結和公式などがある系統的な不変量は知られていなかった。 本講演では、４次元多様体に埋め込まれた曲面の不変量をReal Seiberg--Witten理論を用いて構成し、応用として、 実射影平面の $S^4$ へのエキゾチックな埋め込みの無限族を与える。$S^4$内の$\mathbb{R} P^2$のエキゾチック曲面対は本研究の例が最初である。

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本講演では，時間微分をCaputo微分と呼ばれる非整数階の微分作用素に置き換えた藤田方程式の可解性を扱う．このような時間非整数階モデルに対し，Zhang-Sun(2015)は通常の藤田方程式と同様の臨界冪(いわゆる藤田指数)が現れることを示した．興味深い点として，藤田臨界条件下において，通常の場合は可解性が崩れるのに対し，時間非整数階モデルでは可解性が成立する．本講演では時間微分階数の極限においてこれら可解性と非可解性がいかに結びつくかを考察する．なお本講演内容は比佐幸太郎氏(東京大学)との共同研究に基づく．

Let f be a non-constant polynomial in n variables over a field k of characteristic 0. Motivated by Igusa's conjectures, I introduce the notion of Poincaré series of Denef-Loeser's vanishing cycles of jet polynomials of f, where jet polynomials of f are polynomials appearing naturally when we compute the jet schemes of f. By using Davison-Meinhardt's conjecture which was proved by Nicaise and Payne in 2019, we can show that our Poincaré series is a rational function. Moreover, we can show that our Poincaré series owns a universal property in the sense that if k is a number field then the Igusa local zeta functions, the motivic Igusa zeta functions, the Poincaré series of exponential sums modulo power of primes of f can be obtained from our Poincaré series by suitable specialization maps preserving the rationality. If time permits, I will present some initial consequences that have arisen during the study of our Poincaré series.

今回の講演では、まずKähler-Einstein計量に対する変分法的アプローチの近年における発展について概観し、その系としてネフ反標準束に対する宮岡-Yau型の不等式が導かれることを紹介する。 次いで、接束のスロープ安定性や、定スカラー曲率Kähler計量の漸近的存在について議論する。

Let $q$ be a formal parameter. The left and right $q$-deformed rational numbers were introduced by Bapat, Becker and Licata via regular continued fractions, and the right $q$-deformed rational number is exactly $q$-deformed rational number considered by Morier--Genoud and Ovsienko. They gave a homological interpretation for left and right $q$-deformed rational numbers. Our goal is to provide an understanding of the above definitions and related results. In the fourth part, we will talk about the following. (1) Review the definition of $q$-deformed rational numbers; (2) $q$-deformed Farey sum; (3) Some properties on $q$-deformed rational numbers; (4) Some preparations for the next time.

Jonesは2017年、Thompson群と呼ばれる群のユニタリ表現を研究する過程で、Thompson群の元から結び目（絡み目）を構成する手法を発見し、さらに任意の結び目や絡み目がこの手法で得られることを示した。しかし、異なる2つの元が同じ結び目（絡み目）を与えるための条件は現在でもあまりわかっていない。Jonesの手法をより深く理解するための足がかりとして、Thompson群の部分集合、特に部分群に着目し、そこから得られる結び目や絡み目の性質を調べる。本講演では、Thompson群のある固定部分群に関して得られた結果について発表する。本研究は、児玉悠弥氏（鹿児島大学）との共同研究である。

Bernstein作用素は閉区間[0,1]上の連続関数の空間に作用する正値線形作用素であり、任意の連続関数を一様近似する性質をもつ。また、その反復の極限としてWright-Fisher拡散過程が捉えられることも知られている。さて、Bernstein作用素は二項分布の言葉を用いて定義されるが、この確率分布を様々取り替えることにより適当な意味で関数を近似する性質をもつ正値線形作用素ができる場合がある。さらに、その反復の極限として様々な拡散過程を捉えることができる。このようないわばBernstein型の正値線形作用素ならびにその反復の極限に関して、講演者がこれまでに得た結果や現在進めている研究の一部について紹介する。本講演の内容は赤堀次郎氏、仙葉隼裕氏との共同研究、平野貴稔氏との共同研究、そして日野正訓氏との 現在進行中の共同研究に基づいている。

I will talk about an existence result for the asymptotic Dirichlet problem for harmonic maps from the product of the two hyperbolic planes targeted to the hyperbolic space, where the Dirichlet data is given on the corner of the product. Some subtleties regarding generalization to higher-dimensional cases will also be discussed. This is based on joint work with Kazuo Akutagawa.

Let $q$ be a formal parameter. The left and right q-deformed rational numbers were introduced by Bapat, Becker and Licata via regular continued fractions, and the right $q$-deformed rational number is exactly $q$-deformed rational number considered by Morier-Genoud and Ovsienko. They gave a homological interpretation for left and right $q$-deformed rational numbers. Our goal is to provide an understanding of the above definitions and related results. In the fifrth part, we will talk about the following. (1) Review the $B_3$ actions on $\mathcal{C}_2$; (2) Review some definitions on Bridgeland stability conditions; (3) The structure of $\mathcal{C}_2$; (4) The relationship of rationals and $\mathcal{C}_2$; (5) Two kinds of counting functions; (6) The relationship of $q$-rationals and $\mathcal{C}_2$.

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シグナル依存運動の走化性方程式は, よく知られたKeller--Segel方程式と類似の数理構造を持つ. しかし, 両者の解挙動には相違点があることも知られている. 実際, 空間2次元におけるKeller--Segel方程式の解挙動については初期質量の大小によって解の時間大域存在/有限時刻爆発が起こることが知られているが, シグナル依存運動の走化性方程式の解は初期質量の大きさと無関係に解が時間大域的に存在する. 一方で, 初期質量が大きい($8\pi$が閾値である)ときには, この時間大域解が時刻無限大で発散することが知られている(Fujie-Jiang, 2021). 本講演では, このような時刻無限大で発散するような自己相似解の構成を行う. 特に, この自己相似解の収束先はデルタ関数となり, その重みが$8\pi$より少し大きくなることを示す. なお, 放物・楕円型のKeller--Segel方程式の有限時刻爆発解の収束先は$8\pi$ちょうどの重みのデルタ関数であり, 本結果は両者の解挙動の相違点を提示している. 本発表は仙葉隆氏(福岡大学)との共同研究に基づく.

$p$-進体上定義された簡約代数群 $G$ の複素スムーズ表現全体からなる圏 $R(G)$ を理解することは整数論や保型形式などの文脈から重要な問題である．この際に有用な事実として，圏 $R(G)$ は Bernstein block と呼ばれる充満部分圏の積に分解するということが知られている．したがって $R(G)$ を理解するためにはそれぞれの Bernstein block の構造を理解すれば良い．本講演ではある適切な仮定のもとで，任意の Bernstein block が実は depth-zero block と呼ばれる非常に調べやすい特別な Bernstein block と圏同値であるという結果について紹介する．この結果は type の理論と呼ばれる理論と，ある Hecke 代数の同型を用いることで証明される．本研究は Jeffrey Adler氏，Jessica Fintzen氏，Manish Mishra氏との共同研究である．

非線形消散効果を持つ非線形シュレディンガー方程式の初期値問題を考える。消散性により解の質量は時間について単調に減少するが、ここでは質量が減衰する特別な非線形次数のもと、解析的なクラスに属する解の長時間挙動を示す。方程式の対称性を考慮することで、指数函数形を保つ特別な解を構成できるが、その質量減衰レイトを導くことで先行研究で得られていた上からの減衰評価が、解析的なクラスの上では最適であることを示す。

測度論に基づく確率解析学や測度距離幾何学, 特に測度集中現象, Gromovのピラミッドなどはそれぞれ広く研究されている. 一方, それぞれの内容をもう一方に応用する研究は多くない. 上述のGromovのピラミッドの概念は測度集中現象に基づき, その研究は確率論的に言えば「確率変数列の漸近挙動に基づいた測度距離幾何学」と言える. この意味で, ピラミッドの研究は確率解析学への応用が期待できる分野であると考えている. 本講演では, 測度距離幾何学において従来得られていた仮想的無限次元ガウス空間に関する結果たちに対する一般化を考える. 具体的には, 従来$\ell^2$距離に対する無限次元空間を考えていた部分を$\ell^{\beta}$距離に取り換えた場合の現象の変化について述べる. この研究・拡張のモチベーションは, 従来得られていたガウス空間に関する結果は中心極限定理が背後にあるのか, また別の何かが背後にあるのか定かではない状況が (少なくとも講演者には)見受けられた事にある. 今回の拡張により, $\ell^{\beta}$距離を対象とした極限挙動として得られる仮想的無限次元空間にはガウス空間とは異なる空間が現れうることが示され, Gromovのピラミッドとしての極限には中心極限定理以外の何か別の背景がある可能性が示唆された. 本講演では, 測度距離幾何学の概念, 従来の結果を紹介した後, それらの拡張の結果を広く紹介することを目標とする. また, その拡張の一部の結果についてエルゴード理論との関連を述べる. 本講演は, 数川大輔氏(九州大学), 三石史人氏(福岡大学)との共同研究, また, 伊縫寛治氏(同志社大学)との共同研究に基づいた内容である.

曲面の測度付き葉層構造やラミネーションの組合せモデルとして、トレイントラックと呼ばれるグラフがある。 トレイントラックは曲面に滑らかに埋め込まれたグラフで、頂点にも接線が定まるようなもので、ある種の双曲性を持つものとして定義される。 極大なトレイントラック全体は測度付き葉層構造の空間の区分線形アトラスを与えることが知られている。 一方で、測度付き葉層構造の空間はあるクラスター多様体のトロピカル化として得られる区分線形アトラスも持つ。 本講演ではこれらの区分線形構造の比較をし、トレイントラックの基本変形をトロピカルクラスター変換によって記述する方法を紹介する。

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非線形波動方程式の一般論とその最適性を保証するモデル方程式の解析は表裏一体で、古くは1970年代から共に発展を続けてきた。その中で空間１次元は30年以上前に完成したと思われていたが、講演者を中心とした最近の一連の研究によって、初期速度のゼロ次モーメントがゼロの場合に更なる改良を生んだ。本講演では、その他に時空変数の重みを非線形項が持つ場合へのモデル方程式の拡張や空間偏導関数のみの非線形項に対する爆発証明などを含めた、空間１次元における非線形波動方程式の最近の進展を紹介する。

【東海道新幹線運休の影響により開始時刻を15:00に遅らせます】 実数$p \in (1, +\infty)$と距離空間上のエネルギー汎関数に対し，$p$-勾配流とは，エネルギーを減少させ，その発展の速さが実数$p$とエネルギーの傾斜でコントロールされる曲線である．ヒルベルト空間においてエネルギーが凸な場合，$2$-勾配流の一意性が成り立つという古典的な結果が知られているが，最近，この結果が"リーマン多様体っぽい"距離空間でも成り立つことが様々な研究者により明らかにされている．ここで，$2$でないベキ$p$に対して，$p$-勾配流の一意性が同様に成り立つか？という問題を考えると，これは上記の設定においてさえ明らかにされていない．本講演では，距離空間上の$p$-勾配流の簡単な説明から始め，最近示した上の問題に対する肯定的な結果を紹介する． 本講演の内容はプレプリント[https://arxiv.org/abs/2404.02703]に基づく．

In the last few years, the study of the continuous Anderson model has know a various developments thanks to both the regularity structure theory and the paracontolled approach. In this lecture, we aim to construct the Anderson-Hermite operator in dimension 1 and 2, that is the perturbation of Hermite operator by a spatial white noise potential. This construction is based on a quadratic form approach. After defining appropriate functional spaces, it is easy to define the 1d Anderson-Hermite operator, up to a random constant shift, as a lower-bounded, self-adjoint operator with compact resolvent. In 2d, the direct approach to define the quadratic form fails and one has to renormalize some quantity. We use an exponential transform adapted to the Hermite operator to exhibit the quantity to renormalize. I will present a construction of the Wick renormalization of the Anderson-Hermite operator and show it defines, up to a random constant shift, a lower-bounded, self-adjoint operator with compact resolvent.

We consider the incompressible Navier-Stokes equations on the whole plane. In contrast to the initial value problem, the solvability of the 2D stationary Navier-Stokes equations has been open. In this talk, we solve this problem negatively in the scaling critical Besov spaces framework. Moreover, we apply our method to the time-periodic problem and show the nonexistence of time-periodic solutions for some small time-periodic external forces.

The sheaf T<D> of logarithmic vector fields along a divisor D of the projective space P is the sheafification is a modification of the tangent bundle of P along D, controlling locally trivial deformations of D in P. I will discuss the structure of T<D> when D is the discriminant of a simple complex Lie algebra sitting in P=P(g), g being the Lie algebra of G. A particular emphasis will be on the case when D the Dynkin diagram of D is simply laced. The approach is based on projective duality and cohomology of homogeneous vector bundles. Joint work with Vladimiro Benedetti (Nice, France) and Simone Marchesi (Barcelona, Spain)

In the first part of the talk, I will discuss the distribution of rationality fields of modular forms. Maeda's conjecture predicts they are as large as possible in level 1. In higher level, this is not quite true but I will discuss how close this is to being true. In particular, I will present conjectures joint with Alex Cowan on the frequency of a given rationality field. 　 In the second part of the talk, I will discuss joint work with Alex Cowan and Sam Frengley on constructing families of genus 2 curves with real multiplication over Q. One can use these families to give lower bounds on the number of modular forms with fixed quadratic rationality field.

Kahler類Lに対し、Lに属すKahler計量がなす空間上のペレルマンμエントロピーは、定スカラー曲率計量（cscK計量）とKahler-Ricci solitonを一般化したμ-cscK計量を臨界点にもつ。一方で、非アルキメデス計量（自明付値体上のBerkovich空間の上の関数）がなす空間上に非アルキメデスμエントロピーという汎函数があり、ペレルマンμエントロピーと''双対''の関係にあることが予想されている。 本講演の主題は非アルキメデスμエントロピーである。この汎函数を最大化する非アルキメデス計量の存在と一意性の問題をトーリック多様体の場合を超えて一般的に解決したので、これについて話す。存在証明のポイントはふたつあり、ひとつは非アルキメデス計量の''ひずみ''という概念を新たに導入して非アルキメデスμエントロピーに関する新しい公式を見出し、これを通じてKahler時空（という$n+1$次元の計量）のμエントロピーを導入すること。ふたつめはKahler時空のμエントロピーに関するコンパクト性を確立すること、である。

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本講演では，吸引的--吸引的な二重冪型非線形項をもち，分散構造に冪が1/2より大きい分数冪ラプラシアンを含む Benjamin--Ono 型方程式の進行波解の安定性について考察する．安定性の証明は Grillakis--Shatah--Strauss(1987) に基づき，作用汎関数の線形化作用素に対する強圧性を導くことに帰着される．一方，方程式に分数冪ラプラシアンが含まれることから，Fukuizumi(2003) による非線形 Schr\"{o}dinger 方程式の定在波解の安定性を示す方法をそのまま適用することはできない．そこで，本研究では基底状態の特徴付けや正則性について詳細に考察し，前述の困難点を解決する．

タイトルのGreenberg予想とは「有限次総実代数体の円分$Z_p$拡大体の最大不分岐アーベル$p$拡大は有限次拡大であろう」というものであり，岩澤理論の創始期から興味深い問題とされてきた．しかしながら，実円分体に限っても未解決の予想であり，Leopoldt予想や岩澤予想($\mu=0$)とは状況が異なっている．この予想は総実体ではない場合にも一般化されており，「有限次代数体の全ての$Z_p$拡大の合成による$Z_p^d$拡大体の最大不分岐アーベルp拡大体のガロア群は$Z_p[[Z_p^d]]$加群としてpseudo-nullであろう」という多変数版となる．本講演では，数論的特殊元を用いた一変数および多変数の予想に対する具体的な判定法や計算結果について述べ，より詳しい岩澤加群の構造を求めようとする研究動向についてお話ししたい．

非線形項が$u^k \partial_x u$である高階非線形シュレディンガー方程式の初期値問題をトーラス上で考える。 非線形シュレディンガー方程式の場合には、Chihara(2002)により非適切性が示されている。またChrist (preprint)によりノルムインフレーションが示されている。 本講演では、高階非線形シュレディンガー方程式の初期値問題に対して、ノルムインフレーションが起こることを示す。 その際、初期値問題の解が、Sobolev空間のある閉部分空間上で無条件一意性を持つことを用いる。 本講演は、岡本葵氏(大阪大学)との共同研究に基づく。

空間微分を1つ含む2次の非線形項をもつ3つの非線形シュレディンガー方程式からなる系の初期値問題について考える。 この方程式系は、Colin--Colin (2004)によってレーザーとプラズマの相互作用を記述するモデルとして導出されており、各方程式に含まれているラプラシアンの係数の関係によって方程式系のもつ構造に違いが表れる。逐次近似法が適用できない状況においては、Hirayama--Kinoshita--Okamoto (2022)によってエネルギー法を用いることで適切性が証明されているが、本講演では、短時間フーリエ制限ノルム法を用いることで適切性の結果が改良されることについて述べる。

様々な物理現象における非線形波動の時間発展を記述する偏微分方程式では、 その解の特徴的な挙動として、波の分散（散乱）、相互作用による特異性の発生（爆 発）、それらが拮抗した状態の孤立波（ソリトン）が現われる。ソリトン分解予想は、 一般の方程式と解について、時刻無限大での挙動はソリトンの重ね合わせで近似でき るという主張だが、証明されているケースはごく一部である。他方、一般には殆どの ソリトンが微小変形に対して不安定なので、それらで漸近形が与えられても長時間挙 動は良く分からない。本講演では、有限時刻の状態と無限時刻の漸近形が、不安定ソ リトンの崩壊を経てどのように対応するかについて考える。具体的には、非線形 Kle in-Gordon 方程式の多重ソリトン近傍の初期値空間において、漸近形のソリトン数に 応じた余次元を持つ不変多様体を繋げて長時間挙動の分類を与える。

1980年代後半から急速に発展した「フラクタル上の解析学」では Sierpinski gasket や Sierpinski carpet を始めとした自己相似フラクタル上での熱拡散 (Brown運動) の定式化を皮切りに, 熱核評価やポテンシャル論などの豊富な解析学が展開された. これらの解析学は Hajłasz, Heinonen-Koskela, Shanmugalingam, Cheeger などらによる「距離空間上の解析学」とは異なった特異的様相を呈し, 従来の Euclid 空間や Riemann 多様体の上の解析学の常識は通用しない世界であることが明らかになった. その一方で, 特に Sierpinski carpet 上では, 多くの評価が確率論的解釈に依存していることが障害となり, 単純な $L^p$-拡張, すなわち $(1,p)$ -Sobolev 空間と対応する $p$-エネルギーの定式化, すらままならない状況であった. 本発表ではSierpinski carpet のグラフ近似列上の離散エネルギーの (部分列) スケール極限としての $(1,p)$-Sobolev 空間と$p$-エネルギーの構成法, 可分反射性や正則性 (連続関数の中で稠密) などといった関数空間の基本的性質に関する結果, 及びAhlfors正則等角次元と呼ばれる幾何学的量との関連を述べる. 本研究は Mathav Murugan 氏 (University of British Columbia) との共同研究に基づく.

向き付け可能曲面S上の単純閉曲線のisotopy類がなす単体複体を Sのcurve complex C(S)という. C(S)は局所無限であるなど, それ自体の性質を調べることが困難であるため まだ知られていないことが多い. 一般にはC(S)上の2点を結ぶgeodesicの個数は無限個存在し, uniquenessについてはIdo-Jang-Kobayashiの結果がある. 有限性については長さが2のgeodesicに関して, geodesicの個数が2または3となるような2点が存在することを講演者は示した. さらに, 曲面の種数を大きくとれば任意の自然数n個で実現されることが H. Shiga氏の結果により知られている. 本講演では, 曲面の種数を固定した場合に 2点を結ぶgeodesicの個数が有限の数となる場合の上限を紹介する.

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３次元Riemann葉層力学系のゼータ関数に対する正規化行列式公式を示す。そのために、無限次元葉層コホモロジー上のフローの無限小作用素を用いる。この公式は、Deningerにより予想された公式である。証明は、$\xi$関数の力学系類似を力学系的Lefschetz跡公式を用いて計算することに基づく。これは、Alvarez LopezとJ. Kimとの共同研究である。

ユークリッド空間上で、複素定数係数の偏微分と多項式非線形項からなる一般 の偏微分方程式系に対して初期値問題を考える。通常は微分作用素・非線形項・初期値に様々な条件を課さない限り初期値問題は適切に解けないが、本講演ではフーリエ変換が半空間内にサポートを持つ初期値を考え、他に殆ど何の条件を課さなくても時間大域適切性が成り立つことを示す。正確には、解のフーリエ変換を超関数として半空間の境界と平行方向無限遠に適当な条件を課した関数空間を構成し、その任意の初期値に対して同じ関数空間で連続的な一意大域解を与える。この関数空間は非常に大きく、空間遠方で増大する解や多重周期的な解も含み、古典的にも緩増加超関数でも有限時間爆発する解まで時間大域解として捉えられる。フーリエサポート条件により実数値解が排除されるが、特殊な方程式に対してはその制約も外すことができる。この講演は Baoxiang Wang (Jimei/Peking) との共同研究に基づく。

吉川氏は，対合付きK3曲面の同変解析的捩率を用いて不変量を導入し，それがBorcherds積とSiegelモジュラー形式のテンソル積として得られる保型形式のPeterssonノルムで表されることを示した．本講演では，対合付き4次元正則シンプレクティック多様体の同変解析的捩率を用いて不変量を導入し，特別な場合について吉川氏の不変量と一致することを示す．さらにCamere-Garbagnati-Mongardiの構成した４次元Calabi-Yau多様体のBCOV不変量と我々の不変量を比較し，いくつかの例についてBCOV不変量が或るBorcherds積のPeterssonノルムで表されることを示す．

`magnitude’という言葉は「量的な大きさ」を意味する、ラテン語に語源を持ったもののようです。したがって今回ご紹介する`magnitude theory’は「何らかの量を測る理論」だと言って良いでしょう。では何の「量」を測っているのかというと、「ものたちのつながり方」の量化、だと言えます。オイラー標数、ホモロジー、ホモトピー型、これらは空間に限らず群や順序など様々な対象に対して定まる「量」ですが、どの場合も調べたいものたちの「つながり方」を量化していると解釈できます。これはtopologyという言葉で表現できる最も重要な考え方の一側面です。magnitude theoryはこの一側面の追求であり、私が最も興味を持っているのはそれが「geometricな対象のつながり方」を量化することです。そのようなことを説明させて頂こうと思います。

We consider the theta correspondence arising from the $p$-adic reductive dual pair $PGL_2\times F_4$ inside of $E_7$ with respect to the minimal representation of $E_7$. By computing the Fourier-Jacobi functor and Jacquet modules of the minimal representation we derive precise information about this theta correspondence. As an application we prove a multiplicity one result for Spin(9)-periods of $F_4$. This is joint work with Gordan Savin.

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Riemann多様体上のRicci曲率は、重み付きRiemann多様体上においてN-重み付きRicci曲率に一般化されている。本セミナーにおいては、0-重み付きRicci曲率の下限のもとで、重み付きRiemann多様体上の様々な幾何解析学的な結果を示す。特に、第一Steklov固有値のWang-Xia型の評価、重み付き極小曲面上の第一固有値のChoi-Wang型の評価を示す。さらに、ABP評価とBrendle型のSobolev不等式を導出する。本セミナーの内容は櫻井陽平氏(埼玉大学)との共同研究に基づく(arXiv:2408.15744)。

Harmonic maps between surfaces provide a correspondence between the Teichmüller space of a hyperbolic surface and the space of quadratic differentials on a Riemann surface. In particular, we focus on hyperbolic surfaces with geodesic boundaries. Through the correspondence, a ray in the space of quadratic differentials generates the one-parameter family of hyperbolic surfaces. In this talk, we explain that hyperbolic surfaces along such rays uniformly converge on the entire surface, and we describe the asymptotic behavior of their length spectrum.

線形化されたリウヴィル–ゲルファント問題において、最初の𝑚個の固有値の漸近展開の第二項を決定したことを報告する。我々が扱う問題は、2次元領域における不均一な係数を持つ場合であり、結論は、均一な係数を持つ場合に関する以前の研究（Gladiali-Grossi-大塚、2016）の拡張である。結論を得るのに十分な係数の正則性についても議論したい。本研究は佐藤友彦氏（日本大学）との共同研究である。

集合上に二項演算が与えられると，その上での不変順序を定義することができる．例えば基本群上の順序は，多様体に余次元1のあるR-covered葉層構造を与えることが知られている．このように順序は通常，群上で考察されるが，近年，結び目カンドルなどの観点からカンドル上の順序についても研究が進められている．本セミナーでは，カンドル順序の力学系を用いた研究手法を提案する．特にカンドル順序とは何か，カンドル作用とは何かを述べ，両者を関連づける力学的実現という定理を紹介し，その応用についても触れる予定である．

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本講演では，Schippa(2022)により導入された，modulation空間上でのSchrodinger方程式の局所平滑化不等式について考察する．modulation空間とは，関数空間の一種で，実空間と周波数空間の両方に可積分性を課した空間である．Schippa(2022)やLu(2023), Chen-Guo-Shen-Yan(2024)は実空間側での条件が非自明なものに対してこの評価式を示している．今回は，Cordoba-Fefferman型の不等式と，Bilinear Strichartz評価を用いることで，先行研究で得られていたものよりも周波数空間側での条件を緩めた平滑化評価が得られたので，それを報告する．

確率論と関数論の関係は、P.レヴィのブラウン運動の等角不変性の発見や、角谷静雄によるブラウン運動の大域挙動とリーマン面の型に関する考察を端緒として長い歴史を持っています。関数論の研究に対する確率論的手法の応用例としては、調和関数や正則関数の境界挙動の研究などがよく知られていますが、本講演では有理型関数の値分布について述べたいと思います。 特に有理型関数に対するネヴァンリンナ理論が確率的手法を用いていかに拡張されるかについて述べたいと思います。

三⾓圏の安定性条件とはBridgelandにより導⼊された概念であり, これは古典的な代数曲線上のベクトル束の安定性や代数上の加群の安定性の⼀般化になっているものです. また, Bridgelandは安定性条件の集合が中⼼電荷と呼ばれる特別な座標を持った複素多様体となることを示しました.　 この談話会では, 安定性条件とはどのようなものかという話から始めて, ホモロジー的ミラー対称性を背景として楕円曲線上の連接層の導来圏やA型箙のCalabi-Yau代数の導来圏の安定性条件の空間と周期積分との関連性について紹介します. そして, A型箙の場合の結果をきっかけとして講演者がYu Qiu氏と導入した2重次数付きのCalabi-Yau代数の導来圏やq-安定性条件についての紹介し, これらがA型特異点のtwisted homologyによる周期積分やモノドロミーとして現れるHecke環と関連していることについて説明をします.

KarlssonとNeuhauserは2006年に、$I$-ベッセル関数の位数に関する格子上の和の、指数関数とcosineによる有限和表示を与えた。この公式の証明法は格子上の熱核の一意性を使うものであった。また彼らはPoisson和公式を一般化することでも証明できるだろうと予想した。本講演では彼らの公式の、ポアソン和公式による別証明を紹介する。また、$I$-ベッセル関数の格子和がテータ関数の離散化になっていることや、符号理論、半離散熱方程式との関連も説明する。 本研究は長谷川武博（滋賀大学）、西郷甲矢人（長浜バイオ大学）、齋藤正顕（工学院大学）との共同研究に基づく。

KdV階層、修正KdV階層、3次非線形シュレディンガー階層、微分型シュレディン ガー階層などの全ての方程式を含む一般の高階の非線形分散型方程式について、空間1次元周期境界条件における初期値問題を考え、十分に滑らかな初期値に対する時間局所適切性の成否にもとづいて方程式を分類する研究を行っている。本講演では、これまでに得られた本研究の部分的な結果についてご紹介する。この問題では本質的に変数係数線形方程式に対するエネルギー不等式が重要な役割を果たすが、特に、KdV型の高階非線形方程式の研究に必要となる変数係数線形方程式のエネルギー不等式について中心的に議論する。本研究は横浜国立大学の田中智之氏との共同研究である。

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非圧縮性定常Navier-Stokes方程式を2次元全空間で考察する． 2次元の場合，本方程式のゼロ解周辺での適切性については一般に証明が難しいことが古典的に知られている． 一方で別の特解である非ゼロの一様流周辺で考えると，その摂動系は線形部分においてより良い正則性を持つ． この性質を利用し，本講演では一様流に摂動を加えた形の解が，あるスケール臨界空間において一意的に存在することを示す． なおこのために，一様流の方向と大きさを考慮に入れた異方性を有するBesov型の関数空間を導入する． 本講演内容は藤井幹大氏（名古屋市立大学）との共同研究に基づく．

p-進体上の簡約代数群の表現論は、実リー群の表現論（実数体上の理論）との対比で純粋に調和解析的な視点 から興味を持たれる研究対象であるとともに、アデール群の表現と解釈される保型形式論において、その 局所理論としての重要性を持つ。特に対称空間に付随する表現の研究は、保型形式の周期、保型 L-関数の特殊値、 リフティング対応といった、整数論の重要な諸問題と関連して注目される分野である。講演者は加藤信一氏（京都大） との共同研究で、そのようなクラスの表現の分類に向けた基礎として、「相対尖点表現」と「分裂放物部分群からの誘導」 を軸とした「相対部分表現定理」を構築した。これは通常の尖点表現と放物部分群からの誘導を軸とした通常の群 における Jacquet の部分表現定理の対称空間版にあたるものである。本講演ではまずこの相対部分表現定理について 通常版との比較を見つつ紹介し、その後に得られたいくつかの発展として相対尖点表現の構成法、放物誘導の 相対非尖点性についての成果（これらも加藤信一氏との共同研究）を紹介する。

本発表では反応ネットワークのダイナミクス、すなわちグラフやハイパーグラフなどの離散構造の頂点上に定義された非負値測度の時間発展を考える。反応ネットワークは生物に関わる様々な問題に現れる。例えば化学反応は、分子を頂点、反応は方向づけハイパーグラフ枝と見たとき反応ネットワークであり、他にも状態をもつ細胞の集団動態、都市間の異動を伴う人口動態、そして疫学におけるSIRモデルも反応ネットワークである。反応ネットワークの確率ダイナミクスは一般に点過程により表され、その制御問題は点過程の制御に帰着する。 本発表では、確率反応ネットワークとその最適制御問題を概説するとともに、我々が最近導出したエントロピー正則化最適制御とその応用について紹介する。エントロピー正則化最適制御ではハミルトン・ヤコビ・ベルマン式が線形化し、ファインマン・カッツの公式を介して非制御ダイナミクスから最適制御が簡便に求まる。背後の情報学的構造（推定と制御の関係）に言及するとともに、時間があれば手法の潜在的な応用についても触れたい。

非凸最適制御問題における大域的最大原理は、与えられた制御過程の最適性の必要条件をハミルトニアンの(大域的)最大化によって特徴付けるための重要な定理であり、(決定論的)常微分方程式や確率微分方程式に関する非凸制御問題においては多くの既存研究がある。一般に、大域的最大原理を導出するうえで、与えられた(最適)制御過程の「spike variation」と呼ばれる形の摂動に関する状態方程式・コスト関数のTaylor展開、および対応する随伴方程式の解析が鍵となる。本講演では、特異な核を持つ確率Volterra方程式に関する非凸最適制御問題における大域的最大原理について得られた結果を紹介する。本講演の流れは以下の通りである。 (1)(決定論的)常微分方程式および確率微分方程式に関する最適制御問題の大域的最大原理に関する古典理論のサーベイ (2)確率Volterra方程式のspike variationによるTaylor展開 (3)確率Volterra方程式の無限次元リフトのアプローチに基づく随伴方程式の導出と大域的最大原理の導出 なお、(2)における確率Volterra方程式のspike variationによるTaylor展開の収束レートは、核の特異性によって特徴付けられる。また、(3)における随伴方程式は、本研究で新たに派生したクラスの無限次元後退確率発展方程式によって記述される。

We consider the question of energy decay for the (possibly damped) wave equation in the asymptotically Euclidean setting. In even dimensions, we prove optimal estimates and provide the asymptotic profile of the solution for large times. In odd dimensions, we improve the best known estimates, and in particular we go beyond the decay rate which is optimal in even dimensions. The proof is based on resolvent estimates for the corresponding Helmholtz equation near energy 0. This is a joint work with Rayan Fahs.

There have been extensive activities on counting functions of rational points of bounded height on del Pezzo surfaces, and one of prominent approaches to this problem is by the usage of conic bundle structures on del Pezzo surfaces. This leads to upper and lower bounds of correct magnitude for quartic del Pezzo surfaces. In this talk, I will explain how conic bundle structures on del Pezzo surfaces induce fibration structures on the spaces of rational curves on such surfaces. Then I will explain applications of this structure which include: 1. upper bounds of correct magnitude for the counting function of rational curves on quartic del Pezzo surfaces over finite fields 2. rationality of the spaces of rational curves on quartic del Pezzo surfaces. If time permits, I will explain our ongoing proof of homological stability for the spaces of rational curves on quartic del Pezzo surfaces. This is joint work in progress with Ronno Das, Brian Lehmann, and Philip Tosteson.

射影直線上のd次有理関数の力学系のモヂュライの代数幾何的構成とそこにおける分岐理論のMane--Sad--Sullivan, DeMarco, Bassanelli--Berteloot, Dinh--Sibonyらによる複素幾何および複素多重ポテンシャル論的様相について概説し、最近の周期軌道に関する乗法因子射（Milnor射）のMcMullen(-Thurston) 有限性の精密化に用いられた講演者らによる複素力学系における横断性、数え上げ、および生成性について述べる。本講演はThomas Gauthier (Orsay), Gabriel Vigny (Amiens)両教授との共同研究に基づく。

非アルキメデス的力学系、と言うと何やら「じゃない方のあれ」みたいであるが、 アルキメデス的ノルム、とは「非アルキメデス的でないノルム」のことと定義されるので、 むしろ（よくある）複素力学系などの方が「じゃない方」であるような気もする。 本講演では近年複素幾何や複素力学系の（族の）退化の研究において重要性を増している、 アルキメデス的および非アルキメデス的多様体のhybrid空間（混成空間、ごちゃ混ぜ空間、 やはりBerkovichに端を発する）を紹介しつつ、集中講義のテーマの一つである 非アルキメデス的体上のBerkovich空間（平たく言うと、Banach環上の有界乗法セミノルムのなす空間の貼り合わせ）やその上の力学系の学習への動機づけをしたい。

レース展開は平均場臨界現象を解析する為の強力な手法の一つである．レース展開を用いると，例えば臨界点の漸近展開が得られ，それは現在までに自己回避歩行・無向パーコレーション・有効パーコレーション・コンタクトプロセス等で示されている．本研究の目的は，量子Ising模型に対するレース展開を導出し，それによって量子Ising模型の臨界点の評価を得ることである．頂点集合$\Lambda$上のスピン配置$\vec{\sigma} \in \{-1, +1\}^{\Lambda}$がGibbs分布に従って実現されるという数理模型を古典Ising模型という．量子Ising模型とは，その古典Ising模型のスピン配置空間の代わりに対応するテンソル空間$(\mathbb{C}^2)^{\otimes \Lambda}$を考え，更に強さ$q$の横磁場を印加した数理模型である．横磁場の為に温度のみの時とは異なる種の相転移が起こる．また，$d$次元量子Ising模型は空間に時間と呼ばれる別の座標軸を加えた時空間を考えることによって，$d+1$次元の特殊な古典Ising模型と等価であることが知られている． 本講演では量子Ising模型に対するレース展開を導出する試みの一端として，古典Ising模型($q=0$の場合の量子Ising模型)に対する新しいレース展開の導出方法を解説する．それ自体はランダムカレント表現を用いて [Sakai (2007) \textit{Commun. Math. Phys.}] [Sakai (2022) \textit{Commun. Math. Phys.}] で既に得られている．ランダムカレント表現は簡単に言えばスピンの言葉をボンドの言葉に翻訳する手法の一種である．本講演では，量子Ising模型で使われる，時空間でのランダムカレント表現 [Bj\"{o}rnberg and Grimmett (2009) \textit{J. Stat. Phys.}] [Crawford and Ioffe (2010) \textit{Commun. Math. Phys.}] を用いる点が先行研究と異なる．横磁場有り($q > 0$)の場合の研究は現在進行中である．時間に余裕があれば，その現状についても言及する． 本研究は坂井哲（北海道大学）との共同研究である．

微分同相群や閉シンプレクティック多様体のハミルトン微分同相群などのいくつかの変換群は単純群となることが知られている。しかし、これらの変換群の普遍被覆は基本群を正規部分群として含むために一般に単純群とはならない。講演者らはこれらの普遍被覆が「相対的単純群」となることを証明し、その応用でこれらの群の坪井距離についても考察した。本研究は木村満晃(大阪歯科大)・児玉大樹(武蔵野大、理研)・松田能文(青山学院大)・松下尚弘(信州大)・折田龍馬(新潟大)氏との共同研究である。

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線形微分方程式や接続の数論的性質について最近考えたことをお話しする予定です．基本的なところから説明しますので，気軽なノリで聞いていただければ幸いです． キーワード：p曲率，p進収束半径，G接続，ホロノミックD加群の導来圏，ミドルコンボリューション，André-Baldassarri予想

複素平面から複素多様体への正則写像は整正則曲線と呼ばれ，ネヴァンリンナ理論の一般化として一世紀近くにわたり研究されている．この講演では整正則曲線に対して従来とは大きく異なるエルゴード理論的アプローチを提案したい．複素平面から複素射影空間への１-リプシッツ正則写像をブロディ曲線と呼ぼう．ブロディ曲線全体はコンパクト空間になり自然な群作用を持つ．これを力学系とみなして，その上の不変確率測度を研究したい．最初の主結果は，「ブロディ曲線の空間上の任意の不変確率測度に対して，そのレート歪み次元が幾何学的ポテンシャル関数の積分で上からおえられる」という主張である．この定理は可微分エルゴード理論におけるルエル不等式の類似とみなすことができる．第二の主結果は，「ブロディ曲線に対するルエル不等式の等号を成立させる不変確率測度が豊富に存在する」という主張である．主定理の証明は「ポテンシャル付き平均次元に対する変分原理」に基づいており，これは双曲力学系のエルゴード理論における「熱力学形式」のアイデアに動機づけられている．詳しい内容に興味のある方は論文arXiv:2403.11442を見てほしい．

ケーラー多様体上の正則な前量子化束を考える. その正則切断の, ボーア・ゾンマーフェルト ラグランジュ部分多様体 (BSL部分多様体) の近傍における漸近挙動について次の二つの結果を紹介する. 1. 円周上の連続関数を三角多項式で近似するように, BSL部分多様体上の連続関数を, 前量子化束の適当な自明化のもと正則切断で近似することができる. このような近似する正則切断列が満たすべき不等式を紹介する. 2. 幾何学的量子化では実偏極を退化したケーラー偏極とみて, 量子ヒルベルト空間の収束が研究されている. ここではBSL部分多様体の接空間をファイバー方向にスケーリングすることで, ケーラー偏極をファイバー方向への実偏極へと収束させる. その際に, 正則切断がファイバー方向に定数な関数へと収束していく様子を調べる.

2010年中頃，Marcus, Spielman, Srivastavaらの多項式の研究によって，多項式のたたみこみ理論が自由確率論の離散近似理論としての役割があることがわかってきた. こうした背景から，多項式たたみこみ理論は今日では「有限自由確率論 (finite free probability theory)」と呼ばれ，2020年代に入って急速に発展してきている. 本講演では，多項式列の経験根分布の次数極限による収束が，その多項式の連続係数比が極限分布の$S$-変換に収束することと同値となることを解説する. このことから，多項式の連続係数比は「多項式版の$S$-変換」と理解できることに注意し，自由確率論の$S$-変換と類似の性質をもつことも説明する. また，本研究成果から導かれるいくつかの結果として，多項式の極限定理への応用やFuglede-Kadison行列式との関連などがある. これらについても，時間の許す限り説明する予定である. 本研究は，Octavio Arizmendi氏 (Centro de Investigación en Matemáticas)，藤江 克徳氏 (京都大学)，Daniel Perales氏 (Texas A&M University) との共同研究である.

d次元トーラス上の特異確率偏微分方程式の解の各時刻における分布について、その非線形項を除くことで得られる線形方程式によって誘導されるGauss測度に対して特異になるための条件を議論する。またその応用として、Phi^4_3測度のGauss自由場に対する特異性及びfractional Phi^4-measureが対応するGauss測度に対して特異となるためのパラメータの境界値を確認する。本講演はMartin Hairer氏、楠岡誠一郎氏との共同研究に基づく。

Gaussian beta ensemble (G\betaE) は[Dumitriu-Edelman, 2002]によって導入されたランダム行列であり，古典的なランダム行列であるG(O/U/S)Eを一般化したものである．G(O/U/S)Eの時間発展模型において，その固有値確率過程は，それぞれ\beta=1,2,4のDysonブラウン運動が満たす確率微分方程式(SDE)の解であることが知られている．本講演では，G\betaEの時間発展模型を，対角成分に独立なブラウン運動，上(下)対角成分に独立なベッセル過程を与えることで構成される対称三重対角行列として定義する．この模型の固有値確率過程が満たすSDEにおいて，小行列に対応する固有値確率過程が現れることを示す．また，ベッセル過程の次元を用いて，固有値確率過程が互いに衝突しないための十分条件を与える．

種数gの閉双曲曲面上の閉測地線を写像類群の作用で動かしたもの全体において，長さL以下のものの個数は$cL^{6g-6}(c>0)$に漸近することが知られている（Mirzakhaniの結果）． 閉測地線は基本群の元の共役類に対応するので，一般化して"基本群の有限生成部分群の共役類"の個数の数え上げ問題を考える．この場合，有限生成部分群の共役類に対してその"長さ"の測り方が問題だが，重み付き有限生成部分群の共役類の完備化であるサブセットカレントを利用することで，ある種自然な測り方でMirzakhaniと同様の漸近公式が得られることが分かった． 本講演では当該分野の専門知識をあまり仮定せず，得られた結果を解説したい．

What is ...? セミナーの詳細は https://sites.google.com/view/handai-what-is-seminar/ をご覧ください.

Poisson多様体は滑らかな関数環の上にPoisson括弧が与えられた多様体であり、シンプレクティック亜群はPoisson多様体の「積分」にあたる概念である。本講演では、これらの概念について簡単に説明し、三上-Weinsteinによって示されたシンプレクティック亜群によるシンプレクティック多様体への作用についての簡約定理について述べる。その後、講演者によって得られた余シンプレクティック亜群による余シンプレクティック多様体への作用についての簡約定理を紹介する。

We consider the Cauchy problem to the 3D fractional Schrödinger equation with quadratic interaction of $u\bar{u}$ type. We prove the global existence of solutions and scattering properties for small initial data. For the proof, one novelty is that we combine the normal form methods and the space-time resonance methods. Using the normal form transform enables us more flexibilities in designing the resolution spaces so that we can control various interactions. It is also convenient for the final data problem. This is a joint work with Naijia Liu and Liang Song.

Busemann非正曲率空間（以下BNPC空間）は三角形の比較の意味で非正曲率をもつ距離空間であり、よく知られているCAT(0)空間を含むさらに広いクラスである。CAT(0)空間が単連結非正曲率Riemann多様体の一般化なのに対し、BNPC空間はそのようなFinsler多様体の一般化と見なすことができる。本講演では、近年のLytchak-永野（2019, 2022）およびLytchak-永野-Stadler（2024）によるCAT(0)空間に対する一連の位相的結果がBNPC空間に拡張されることを紹介する。具体的には、BNPC位相多様体のリンクによる特徴づけ、BNPCホモロジー多様体の特異点の離散性、またBNPC4次元位相多様体がEuclid空間に同相であることを示す。証明はBNPC空間のFinsler的な性質をとらえることが鍵となる。ただし講演は技術的な詳細よりも元の結果を含めた全体的な背景に焦点を当てる予定である。本講演の内容はShijie Gu氏（Northeastern University, China）との共同研究に基づく（プレプリント準備中）。

マルコフ型確率微分方程式の弱解の存在・一意性およびその数値解析は，係数がnon-Lipschitz条件を満たす場合において，偏微分方程式に基づく手法を用いてこれまで広く研究されてきた．一方で，Kulik-Scheutzow(2020)は"generalized coupling"と呼ばれる確率論的手法を用いて，経路依存型確率微分方程式に関する弱解の存在・一意性・エルゴード性を証明した．なお，この手法はdegenerate stochastic 2D Navier–Stokes equationsのエルゴード性（Hairer-Mattingly, 2006）およびlog-Harnack型の不等式（Xu, 2011）の証明において用いられている．また，経路依存型確率微分方程式に対する類似の性質は，Hairer-Mattingly-Scheutzow (2011), Wang (2011), Bao-Wang-Yuan (2019)などによって証明されている．本講演では，generalized couplingの手法を応用することで，経路依存型確率微分方程式に対するEuler-Maruyama近似の弱収束，特にLévy–Prokhorov距離に関する誤差評価について得られた結果を紹介する．本研究は，濱口 雄史 (京都大学)との共同研究に基づく．

1月30日は Sang-hyun Kim 氏と 中村昌平 氏による2つの講演があります. What is ...? セミナーの詳細は https://sites.google.com/view/handai-what-is-seminar/ をご覧ください.

1月30日は Sang-hyun Kim 氏と 中村昌平 氏による2つの講演があります. What is ...? セミナーの詳細は https://sites.google.com/view/handai-what-is-seminar/ をご覧ください.

In this talk, I will talk about the CR Paneitz operator and some of its properties. I will then talk about some related results in CR geometry, including the CR positive mass theorem and the convergence of the CR Yamabe flow. Finally, I will mention some of the very recent results about the spectrum of the CR Paneitz operator in the non embeddable case, which is a joint work with Yuya Takeuchi.

集会の情報は https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~morisita/jindex.html をご覧ください。 プログラムは追って上記のウエブページに掲載いたします。 集会の様態は対面を予定しております。 招待講演者: Pierre Debes （Universite Lille） 古庄英和 （名古屋大学） 金英子（大阪大学） Pierre Lochak（Universite Paris Pierre et Marie Curie） 中村博昭（大阪大学） 小笠原健（独協医科大学） Ken Ono（University of Virginia） Florian Pop*（University of Pennsylvania) Mohamed Saidi（University of Exeter） 逆井卓也（東京大学） 佐藤隆夫（東京理科大学） Leila Schneps（Institut de Mathematiques de Jussieu） 白石伝助（東京理科大学） Jakob Stix（Goethe Universitat Frankfurt Am Main） 玉川安騎男（京都大学数理解析研究所） 角皆宏（上智大学） 安田正大（北海道大学） （* Zoom講演予定）