Seminars: 2025/04/01--2026/04/01

Speakers: - Shun ISHII, Keio University, Japan - Nao KOMIYAMA, Osaka University,Japan - Séverin PHILIP, Stockholm University, Sweden - Simon RUTARD, Nagoya University,Japan - Koichiro SAWADA, RIMS Kyoto University, Japan - Reiya TACHIHARA, RIMS Kyoto University, Japan - Naganori YAMAGUCHI, Institute of Science Tokyo, Japan [URL] http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/ArithmeticDay2025/

In this talk, we consider matrix-valued processes described as solutions to stochastic differential equations of a very general form. We study the family of empirical measure-valued processes constructed from the corresponding eigenvalues. We show that this family, indexed by the size of the matrix, is tight under very mild assumptions on the coefficients of the initial SDE. We characterize the limiting distributions of its subsequences as solutions to an integral equation. Using this result, we explore certain universality classes of random matrix flows, which generalize classical results related to Dyson Brownian motion and squared Bessel particle systems. We also identify new phenomena, such as the existence of generalized Marchenko-Pastur distributions supported on the real line. Additionally, we introduce universality classes associated with generalized geometric matrix Brownian motions and Jacobi processes. Finally, under certain conditions, we study the convergence of the empirical measure-valued process of eigenvalues associated with matrix flows to the law of a free diffusion.

Artin groups are given by a finite set of generators $S$ with the presentation: $$A = \langle S \mid \underbrace{s_i s_j s_i \dots}_{m_{ij} \text{ letters}} = \underbrace{s_j s_i s_j \dots}_{m_{ij} \text{ letters}},\; \forall\, i \neq j \rangle.$$ These relations generalize those that define Coxeter groups, but without requiring the generators to have finite order. A parabolic subgroup of an Artin group $ A $ is obtained by considering a subset $T \subseteq S $ of generators and taking the subgroup generated by $T$. These subgroups play a fundamental role in the study of the topological and algebraic properties of Artin groups. In 1997, Luis Paris, building on the work of Kramer for Coxeter groups, proposed an algorithm that efficiently determines whether two parabolic subgroups are conjugate in the Artin group. Dyer groups, on the other hand, form a family that generalizes both Coxeter groups and RAAGs (Right-Angled Artin Groups). They admit a uniform solution to the word problem in both cases (Coxeter and RAAG) and allow the definition of parabolic subgroups in a manner analogous to that of Artin groups. In this talk, we will present an algorithm, based on the works of Paris and Kramer, that decides whether two parabolic subgroups of a Dyer group are conjugate. This is a joint work with Marina Salamero (Universidad de Sevilla) and Mireille Soergel (TU Berlin).

A celebrated result of Bertolini–Darmon–Prasanna shows that certain Rankin–Selberg $p$-adic $L$-functions — constructed via $p$-adic interpolation of the Waldspurger formula — can be evaluated at points outside their interpolation range (which we refer to as wall-crossing) in terms of Generalized Heegner cycles (and serve as $p$-adic analogues of first derivatives at the central critical point). This principle has been extended to triple products by Bertolini–Seveso–Venerucci and Darmon–Rotger, who relate values of Hsieh’s unbalanced $p$-adic $L$-functions (constructed $p$-adically interpolating Ichino and Hsieh’s explicit GGP formulae) on the balanced range to diagonal cycles.　　 I will report on a result where wall-crossing is used to factor a triple product $p$-adic $L$-function in a setting with an empty interpolation range — yielding a $p$-adic Artin formalism for families of the form $f \times g\times g$. The key input is the arithmetic Gan–Gross–Prasad (Gross–Kudla) conjecture, linking central derivatives of (complex) triple product $L$-functions to Bloch–Beilinson heights of diagonal cycles and their comparison with their $GL(2)$-counterpart (Gross–Zagier formula). I will also discuss an extension to families on $GSp(4) \times GL(2) \times GL(2)$, where a new double wall-crossing phenomenon arises and is required to explain a $p$-adic Artin formalism for families of the form $F \times g \times g$. This suggests a higher BDP/arithmetic GGP formulae concerning second-order derivaties. 　　 This talk is based on four disjoint projects, joint with D. Casazza, A. Pal, O. Rivero, R. Sakamoto, and C. de Vera Picquero.

体k上の代数多様体Xの導来圏D(Coh(X))がquasi-phantom category（擬幻影圏）をadmissible subcategoryとして持つ（持たない）という性質は，非可換幾何学において重要な研究対象です． 本講演では，代数多様体がquasi-phantom categoryを持つという性質が変形で保たれるかという問題を考えます． この問題は， 複素数体上のBarlow surfacesのモジュライやfull exceptional collectionを持つ多様体のfamilyの場合，また標数\neq 2な閉体上のBurniat surfaceのモジュライに対して肯定的に解決されています． 本講演においては，幾何的実現を持つdg圏 T\subset perf{dg}(X)に対して，quasi-phantom categoryと密接に関係する，motivic quasi-phantomの概念を導入します．この概念は有理係数非可換モチーフの消滅で特徴づけられるもので，base field kが素体上超越次数が∞な閉体な場合はquasi-phantomを含み，ch(k)=0かつK(X){tor}が有限生成な場合はquasi-phantomに含まれるという性質を持ちます．重要な結果として，XのChow motiveがKimura finiteな場合，kで可逆な素数lに対して，T_{\ol{k}}の K(1,l)-local K theoryが消滅するならばTはmotivic quasi-phantomとなる事を示します．（またkが標数0の場合，HH(T/k)=0ならばTはmotivic quasi-phantomとなる事を示します．）この結果を用いて，代数体上のp_g=0な多様体のなすfamily,標数0な体上のp_g=0, c_1^2 \neq 9な一般形曲面のなすfamily，また高次元類体論の帰結として有限体上のアーベル型多様体のなすfamilyに対して上の問題を肯定的に解決します．

連接層のslope安定性とは, 連接層の第一チャーン類と多様体上のコホモロジー類を用いて定義される代数幾何的な安定性条件である. 多様体上のコホモロジー類がケーラー類の場合は, 反射的連接層のslope安定性とエルミート・アインシュタイン計量の存在は等価であることが知られおり, 小林・ヒッチン対応と呼ばれている. 巨大コホモロジー類はケーラー類の双有理幾何的な拡張であると理解できる. 本講演ではまず巨大コホモロジー類に対するslope安定性を定義し, ある種の双有理不変性を持つことを紹介する. その帰結として標準因子が巨大な射影多様体上では小林・ヒッチン対応が成立することを紹介する.

We extend the hybrid scheme of Gatheral (2022) and apply the finite difference methodology of Bourgey et al. (2024) to compute the skew-stickiness ratio (SSR) under quadratic rough Heston. We find that the quadratic rough Heston model not only provides good joint fits to both SPX and VIX volatility smiles but also produces credible SSR values, whilst remaining extremely parsimonious. By examining the historical evolution of the quadratic rough Heston model, and relating it to well-known classical stochastic volatility models, we can begin to understand the underlying reasons for its seemingly unreasonable effectiveness. This is joint work with Florian Bourgey.

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1次元Euclid空間上で斉3次の非線形項を伴う非線形Klein-Gordon方程式の初期値問題を考える. この方程式の解の長時間挙動を考える際, 3次の非線形項が臨界的な状況の一つを与えることが知られており, 初期値が小さく滑らかでも一般には古典解は有限時間までしか存在しない．この方程式に対して，古典解の時間大域的存在を保証する非線形項の構造条件がDelort(2001)，Sunagawa(2006)等により得られ, さらにその条件下での解の減衰評価がKim-Sunagawa(2014)，Nishii(2025)で得られている. 本講演では, 解の減衰率について最近得られた結果を紹介する．

This talk explores evolutionary models of asset markets in mathematical finance, in which many interacting agents compete for capital. We focus on the asymptotic dynamics of such systems—particularly which strategies accumulate wealth faster than others. A key feature of our approach is the existence of strategies that outperform others irrespective of competing agents' behavior, influencing the market's long-term characteristics. Unlike traditional models, we examine endogenous price formation, offering a new perspective on market evolution. I will review foundational and recent results, highlighting insights into strategy dominance and market dynamics.

1次元トーラス上で，半線形Schr\"odinger方程式の初期値問題を考える．線形Schr\"odinger方程式の場合には，初期値問題が適切になるための必要十分条件が知られており，溝畑条件と呼ばれる．本講演では，半線形Schr\"odinger方程式に対して溝畑条件に相当するものを求め，初期値問題が適切となるための非線形項の必要十分条件を与える．本講演は，岡本葵氏（広島大学）との共同研究に基づく．

有限距離空間のマグニチュード、ユークリッド空間のコンパクト部分多様体のRieszエネルギー関数および関連する積分幾何学的な量で、空間がどの程度決まるかを考える。対称性が最大または最小（generic）のときに同定でき、中途半端な対称性を持つ反例が作れる、という現象を報告する。 https://drive.google.com/file/d/1KcqMYlL-l_SVCfC0PvZY2v_VoQ6b0Z3e/view?usp=sharing

種数が２以上の向きづけられた閉曲面を考える。表題の射影的測地線層の空間とは，閉曲面上の単純閉曲線の集合を幾何学的交点数関数により然るべき完備化をした空間である。射影的測地線層の空間には自然に写像類群が作用する。射影的測地線層の空間にはThurston測度と呼ばれる自然な確率測度があり，写像類群の作用はThurston測度に関して擬不変であることと，写像類群の作用はエルゴード的であることが知られている。この講演では，写像類群の部分群であるTorelli群に作用を制限すると，その作用は非エルゴード的であることを示す。証明は，タイヒミュラー空間論を用いて，具体的に，Torelli群の作用に関して不変な射影的測地線層の空上の非定数（有界）可測関数を構成することにより行われる。時間があれば関連する問題も議論したいと考えている。

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Consider the initial value problem for the cubic derivative nonlinear Schrodinger equations in one space dimension with small initial data. Under the weak dissipativity condition in the sense of Li-Nishii-Sagawa-Sunagawa(2021), the global solution decays like (log t)^{-1/4} in L^2, and this rate is best possible in general. In this talk, I will show that this decay rate is slightly lowered if the Fourier transform of the initial data vanishes at the point where the dissipation is not effective. Several remarks related to this result will be also given. This talk is based on a joint work with Chunhua Li, Yuji Sagawa and Shinpei Washio.

Remarkable progress has been made in recent years in the field of the minimal model theory for complex algebraic varieties. The first breakthrough was brought by Birkar, Cascini, Hacon and McKernan. In 2022, Fujino generalized their results to projective morphisms between complex analytic spaces. This is the first step of the minimal model theory in the complex analytic setting. In this talk, I will introduce recent progress of the minimal model theory for log canonical pairs in complex analytic setting. This talk contains joint works with Makoto Enokizono.

複素多様体$X$上の正則関数の組$(g_1,\dots,g_r,f)$に対して$\sum g_i h_i = f$を満たす正則関数の組$(h_1,\dots,h_r)$はいつ存在するか？ この問題は割算問題と呼ばれ、多変数関数論、複素幾何学において基本的で重要な問題である。 SkodaはHormander流の方法でこの問題を研究し、効果的な解の存在定理を、しかも$L^2$評価付きで与えた。 本講演では、Skoda型割算定理の最良の$L^2$評価について説明する。応用として、多重劣調和関数の新たな特徴付けや、最良評価付き$L^2$拡張定理、Guan--Zhouの強開性定理の簡単な証明を与える。

p-エネルギー形式とは，”Dirichlet形式のL^p版”にあたる対象であり，近年その構成及び性質の研究が進展している.（主たる動機の一つは、フラクタル上に(1,p)-Sobolev空間の対応物を構成することにある．）正則なDirichlet形式に対しては，その局所化にあたるエネルギー測度を定めることができるが，p-エネルギー形式の場合には同様の構成法を適用することが困難であり，エネルギー測度はエネルギー形式の具体的な表現や，自己相似性の仮定に強く依存する形で個別に構成されていた．講演者は，強局所，正則なDirichlet形式に対応する条件のみを課したp-エネルギー形式に対し，(空間/エネルギーの自己相似性の仮定を必要とせず)，Dirichlet形式の場合とは異なったアプローチにより対応するエネルギー測度を構成し，連鎖律，Leibniz則などの諸性質や，それらの性質を満たすエネルギー測度の一意性を示した(arXiv:2502.13069)．本講演では，これらの研究背景及び結果をより詳しく紹介する．

本講演では点相互作用を伴う非線形シュレディンガー方程式の定常問題として現れる非線形楕円型方程式を考える. 空間1次元での研究は多いが, 高次元での研究は少なく, どれもべき乗型の非線形項を扱っている. 本研究の目的は, 一般の非線形項に対して非自明な解の存在を示し, 解の定性的な性質を導くことである. 峠の定理を用いて非自明解の存在を示すが, 有界Palais-Smale列を構成するためにtechnique of adding one dimension spaceを用いる. 点相互作用を伴う問題の最大の難しさは, 空間スケーリングによって方程式に現れるパラメータがシフトするため, PS列の有界性を示すために追加のblow-up type argumentが必要になることである. 時間があれば, 基底状態解の存在についても述べる. 本研究はPolitecnico di BariのAlessio Pomponio氏との共同研究である.

体k上の簡約代数群Gに定まるG-operとはk上の代数曲線上の然るべき接続付き主G束として定義される．これはRiemann面上の射影構造の一般化であり，Operおよびそのモジュライ空間は，その変種である(generic) MIura operとともに幾何的Langlands対応やTeichmüller理論における基本的な研究対象である．kが標数p(>0)の場合におけるoperの研究はp進Teichmüller理論に起源を持ち，p曲率と言われる不変量が研究において中心的な役割を果たす．p曲率が0であるG-operをdormant G-operと呼ぶ．本講演では楕円曲線上のdormant operおよびdormant Miura operのモジュライ空間の大域的な構造について述べる．時間が許せば素数冪標数での定義と有限レベル構造というdormant PGL_n-operの2種類の拡張について紹介し，その関係性について述べる予定である．本講演は論文arXiv:2504.00418の内容に基づく．

非可換確率論とよばれる確率変数の積についての非可換性を課した代数的な確率モデルがあります。そのなかで自由確率論と呼ばれる、非可換確率にVoiculescuにより導入された自由独立性を課したモデルがとりわけよく調べられています。その理由はランダム行列のスペクトル分布を調べるのに応用があることがあげられます。また自由確率論と確率論を対比した時にいくつかの綺麗な対応関係が存在します。本講演ではそれらを紹介しつつどこに差異が現れるか、またそれによりどう言うことが言えるかを講演者の結果を交えつつ解説します。

Noncommutative or free probability is a branch of mathematics that is useful for describing the large-$N$ limits of many $N \times N$ random matrix models. In this theory, classical probability spaces are replaced by pairs $(\mathcal{A},\tau)$, where $\mathcal{A}$ is an (operator) algebra and $\tau \colon \mathcal{A} \to \mathbb{C}$ is a certain kind of linear functional. In such a pair, $\mathcal{A}$ and $\tau$ are conceptualized as the space of ``noncommutative random variables'' and the ``expectation'' functional on $\mathcal{A}$, respectively. The analogy with classical probability goes much further. Indeed, there are notions of distribution, independence, $L^p$ spaces, conditional expectation, and more. My talk will focus on my joint work with David Jekel and Todd Kemp on developing a general noncommutative theory of stochastic calculus and SDEs.

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A key approach to studying topological manifolds is decomposing them into smaller submanifolds using special fibrations such as "open book decompositions". An open book decomposition of an $n$-manifold (the open book) is a fibration that helps us study our manifold in terms of its ($n-1$)-dimensional fibers (the pages) and ($n-2$)-dimensional boundary of these submanifolds (the binding). Open books offer a powerful framework for analyzing special odd-dimensional smooth manifolds (contact manifolds). These fibrations shift the study of "contact manifolds" to a topological perspective. For example, every contact $3$-manifold can be represented as an open book, where the pages are surfaces and the binding is a knot or link. This talk explores higher-dimensional contact manifolds, examining their topological and geometric properties via open books, and discusses recent and ongoing research on fibrations with special singularities (Morse and Morse-Bott singularities).

本講演では, Hardy-Hénon型放物型方程式と呼ばれる非線形項にべき乗型荷重を持つ半線形熱方程式に対する, Herz空間上での解の無条件一意性について紹介する. Herz空間では, 非線形項に現れる荷重を可積分性の指数に押し付けることができるため, その荷重を有効活用できると考えている. 実際, 先行研究のべき乗型荷重を持つLorentz空間に対する無条件一意性の結果では, 可積分性の指数に対する端点が含まれなかったが, Herz空間では含まれることがわかった. 特に, Herz空間の補間指数が大きい場合は, Lorentz空間に含まれない部分があり, 本質的な進展が得られた. 本研究は, 大阪大学の池田正弘氏との共同研究である.

極小な一般型代数曲面は、Noetherの不等式を満たすことが知られている。この不等式が等式となる一般型曲面は、Noether-Horikawa曲面と呼ばれる。Noether-Horikawa曲面は堀川氏により分類され、さらに各タイプごとにそのGieseker moduli空間が描写された。その後moduli理論の進展により、Noether-Horikawa曲面の固有なmoduli 空間(KSBA moduli)の存在が明らかになった。これはGieseker moduli空間の一つのコンパクト化を与える。 我々はNoether-Horikawa曲面のKSBAモジュライ空間を理解するべく、その第一歩としてNoether-Horikawa曲面の正規安定退化を分類した。今回の講演では、以下の三つのトピックを解説する。一つ目は、堀川氏によるNoether-Horikawa曲面の研究を解説する。次に、KSBA moduliの観点から見た我々の研究の背景を説明して、本研究の主結果を説明する。最後に、主結果の証明の戦略を解説する。本研究は榎園誠氏、服部 真史氏、厚東裕紀氏との共同研究である。

1956年以来のGrauertの活躍の影響で、岡・Cartan理論と小平・Spencer理論が同じ視界に入り、 孤立特異点とその変形の理論が発展した。その結果、例外集合の解析において岡理論と小平理論が L²評価式の方法で統合された。この方法は中野、風間らにより弱１完備多様体上のL²理論として 展開され、消滅定理や有限性定理が得られた。1998年に発表された高山による小平埋め込み定理と Levi問題の解の一般化は、L²理論の方法による統合の成果とみなせるであろう。この高山理論について 解説し、これをさらに拡張した最近の結果を報告したい。

藤田型方程式では、空間６次元が解挙動の意味での臨界次元となります。この場合は、R^2からS^2への調和写像流方程式の写像度２の設定と類似の結果が成り立つことが言われています。本発表では、その類似性が実際に成り立っていることを説明します。

単位球面上のリーマン計量gは, 「スカラー曲率を球面上のいずれかの点において小さくしないと計量gを大きくすることはできない」という性質がある. この現象はLlarullの剛性定理として知られており, 同様の性質をもつコンパクトリーマン多様体も存在する. このような現象はExtremalityとよばれる. GromovによるQuestionで「単位球面から滑らかな閉曲線を除いた開リーマン多様体がExtremalか」というものがある. 本講演ではarXiv:2502.15135に基づき, この問題に関連する講演者による研究結果を説明する. またスカラー曲率は半径が十分小さいボールの体積の増大度と関係している. Larry Guth氏による研究では, この視点から距離空間の幾何的性質が議論されており, 講演者による研究結果との比較についても触れる.

分枝過程は人口変化などを表す古典的な確率過程で，Bienayme, Galton, Watsonらによって1800年代の半ばごろに導入された．分枝過程の解析では推移確率の母関数やラプラス変換が基本的である．これらの関数は適当な領域上の正則写像になるため，複素関数論を用いるというアイデアは自然なものではあるが，このような方針の先行研究は少ない．最近の講演者の研究で，複素関数論を活用して分枝過程の様々な性質を証明したので，その一部を紹介する．講演はPavel Gumenyuk氏, Jose Luis Perez氏との共同研究に基づく．

正方形杭問題（square peg problem）とは「平面内の単純閉曲線が与えられたとき，その上の異なる4点で正方形の4頂点となるものが存在するか」という問題で，Toeplitzにより1911年に提示されたが今も未解決である．より広く，辺の比が指定された長方形の存在を問う長方形杭問題も考えられる．GreeneとLobbは，シンプレクティック幾何を用いて長方形杭問題を滑らかな曲線に対して肯定的に解決し，後にFloer理論における スペクトル不変量を用いて結果を改良した．本講演では，超局所層理論を用いると，長さ有限の単純閉曲線に対する長方形杭問題を肯定的に解決できることを紹介する．これは浅野知紘氏との共同研究に基づく．

講演者は尾國新一氏（愛媛大）との共同研究にて、単連結な非正曲率リーマン多様体の粗幾何学における類似物である、粗凸空間を導入し、その理想境界（無限遠境界）を構成した。Cartan-Hadamardの定理により、単連結で完備な非正曲率リーマン多様体の理想境界は常に球面になるが、粗凸空間の理想境界はより複雑な空間になり得る。さて、しばしば距離空間の粗幾何学的情報は、その無限遠境界に織り込まれていることがある。実際に固有な粗凸空間の粗ホモロジーは、理想境界のホモロジーと同型になる。この結果にHigson-Roeによる粗幾何学の枠組みでの指数定理の理論を適用することにより、粗凸空間上の「Dirac型作用素」の指数を、理想境界のホモロジーを用いて分類することができる。

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放物型-楕円型の連立系に基づく走化性方程式の初期値問題を考察する. 走化性方程式は化学物質との相互作用によって駆動する細胞や生命体の運動を表しており, 質量保存則の観点から初期値の総質量の大きさに応じて対応する解の時間大域挙動が変化することが知られている. 本発表では, 初期値問題の時間大域可解性が成り立つための初期質量の閾値を各次元で考察する. さらに, 初期値の形状が解が時間大域挙動に影響を与える点についても併せて考える.

The focus of this talk is the transformation of increments of a stochastic process by a predictable function. Many operations in stochastic analysis can be considered under this point of view. Stochastic integrals, for example, are linear functionals of process increments. Although mathematically equivalent, focusing on transformation of increments often leads to simpler proofs of more general statements in stochastic calculus. In this talk specifically, we illustrate how considering predictable variations lead to various Ito-type formulas. Joint work with Ales Cerny

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