ホモロジーシリンダーとは，ホモロジー的に曲面と区間の直積であるような3次元多様体であり，写像類群の部分群である Torelli 群と深く関係する．本講演では，ホモロジーシリンダーに対して，曲面の基本群の群環の $I$ 進完備化の代数的 $K_1$ 群に値を持つ Reidemeister-Turaev トーションを定義し，その性質を紹介する．具体的には，量子トポロジーの文脈で現れる有限型不変量になっていることを示し，さらに LMO 関手や榎本-佐藤トレースとの関係を明らかにする．本講演は佐藤正寿氏（東京電機大学）と鈴木正明氏（明治大学）との共同研究に基づく．